¿Hay buenos libros para aprender y probar teoremas matemáticos?

Lee libros de G.Polya!
Honestamente, si realmente eres un estudiante de matemáticas e incluso si no lo eres, todo lo que necesitas hacer es aplicar poca presión sobre las células cerebrales.
Supongamos que comenzó a estudiar sobre algún tema, diga relaciones y funciones (primer capítulo de 12º estándar de matemáticas por NCERT), ahora lo primero que un libro de matemáticas le proporciona son definiciones básicas que son la raíz de cualquier concepto. Así que primero el libro te ayuda a entender el significado de relación preferiblemente con ejemplos. Ahora, antes de pasar al siguiente tema en el libro, piense en un ejemplo en su mente (difícilmente tomará 5 segundos con definiciones básicas) y luego proceda a las propiedades. En cada página, cada línea, cada palabra que necesita preguntar ¿POR QUÉ? ¿Por qué esta relación no es simétrica? ¿Por qué incluso definimos relaciones y funciones como esta? Intentaré explicar mi punto más claramente con esta conversación que tengo hijos:
Yo: “Si 7x = 14, entonces, ¿qué es x?”
Estudiantes: “x = 2”
Yo: “¿Cómo?”
Estudiante: “Bueno, x = 14 dividido por 7 es 2, por lo tanto, x = 2”
Yo: “Pero, ¿cómo sabes que 14 dividido por 7 es 2”
(Recibo respuestas múltiples después de esto, algunas risas divertidas, expresiones extrañas, etc.)
Estudiante: “Porque 7 en 2 es 14, por lo tanto, cortamos 7 tanto en el numerador como en el denominador para obtener 2”
Yo: “¿Cómo sabes que 7 en 2 es 14?”
Estudiante: “¡Duh! ¿No conoces tablas de 7?
Yo: “jaja! Está bien, tal vez no, pero ¿cómo sabes tablas de 7?
Estudiante: “Rati Ma’am me enseñó”
Yo: “¿Quién enseñó a Rati, señora?”
Estudiante: “Su maestra”
Yo: “¿y quién enseñó a la maestra Rati Ma’am? ¿Y la maestra de la maestra Rati?
Estudiante: * bastante *
Yo: “¿Bajó Dios y le dijo a algún maestro?”
Estudiante: “* risas *! No”
¡Yo, entonces! Alguien debe haberlo pensado, ¿verdad? También tenían un cerebro humano, ¡tú también! ¡PENSAR! Un problema matemático siempre tiene al menos una solución, pero hay muchas formas de resolver ese problema, ¡imagínate descubrir tu propio camino!

Entonces, cuando estás probando un teorema, muy raramente hay una sola manera de alcanzar el resultado final, hay muchos caminos / formas de probar el teorema y si estudias con una mente feliz y libre, encontrarás tu propio camino que yo Garantizar, cuando lo haces, es un sentimiento que no tiene precio. ¡Ese sentimiento de entender un concepto por tu cuenta y demostrar un teorema por tu cuenta es uno de los mejores!

¡Esta práctica lleva tiempo pero puedes comenzar en cualquier momento!
y los libros de G.Polya definitivamente te ayudarán si quieres adaptarlo.

Cómo probarlo por Daniel J. Velleman
Una guía para principiantes de pruebas matemáticas. También introduce la teoría de conjuntos, que es una base importante para las matemáticas modernas.

Cómo resolverlo por G. Polya
Menos sobre pruebas matemáticas y más sobre resolución de problemas en general. Una guía invaluable que cualquier matemático serio debería leer al menos una vez.

Matemáticas y razonamiento plausible por G. Polya
A diferencia de Cómo resolverlo , las matemáticas y el razonamiento plausible están más basados ​​matemáticamente, por lo que aprenderá técnicas más específicas para pruebas y resolución de problemas.

Problemas y teoremas en el análisis I por G. Polya
Comparado con Cómo resolverlo y Matemáticas y razonamiento plausible , este libro es el más matemático. Requiere más madurez matemática.

Estrategias de resolución de problemas por Arthur Engel
Escrito para estudiantes de secundaria que compiten en el Concurso Internacional de Matemáticas, el libro contiene muchas técnicas de prueba excelentes.

Solución de problemas a través de problemas por Loren C. Larson
Contiene muchas técnicas de las estrategias de resolución de problemas de Engel. Sin embargo, todavía vale la pena leer por los problemas incluidos.

Putnam y más allá por Razvan Gelca y Titu Andreescu
Más inclinado a las competencias de matemáticas de pregrado, incluye técnicas de prueba para matemáticas más avanzadas, por ejemplo, análisis, álgebra, combinatoria. Gran libro si quieres ver cómo funcionan las técnicas básicas de prueba en matemáticas universitarias y problemas de investigación.

Hay algunos factores que te ayudarán a aprender a probar los teoremas matemáticos. Depende de qué campos pertenecen los teoremas de los que estás hablando y también depende del nivel en el que estés en tus estudios.

De mi propia experiencia como estudiante de licenciatura en matemáticas y sin tener una exposición previa a las matemáticas avanzadas antes de la universidad, aquí están los libros que he usado y que me han parecido realmente excelentes para ayudarme a desempeñarme bien en los cursos de matemáticas puras.

Si no tiene ninguna exposición a la escritura de pruebas, comenzaría con cualquiera de los dos o con ambos:

  • Libro de Prueba de Hammack: Libro de Prueba: Richard Hammack: 8601401796473: Amazon.com: Libros
  • Matemáticas discretas de Susanna Epp: Matemáticas discretas con aplicaciones: Susanna S. Epp: 9780495391326: Amazon.com: Libros

Si tiene cierta exposición a la redacción de pruebas, pero le gustaría estar expuesto a problemas un poco más difíciles, considere:

  • (para matemáticas discretas y álgebra abstracta) Matemáticas discretas y combinatorias de Grimaldi: Amazon.com: matemáticas discretas y combinatorias de Grimaldi: Libros
  • (para análisis) Análisis de Lay: Análisis con una introducción a la prueba, 5ª edición: Steven R. Lay: 9780321747471: Amazon.com: Libros

Desde aquí, es probable que pueda continuar con el cálculo de Spivak, el álgebra abstracta de Pinter, el análisis de Rudin, etc. ¡Buena suerte!

Los 3,000 problemas resueltos en álgebra lineal tienen una amplia variedad de problemas de álgebra lineal y abstracta, una gran parte de los cuales son pruebas. Las pruebas de álgebra tienden a ser mucho más fáciles que, por ejemplo, las pruebas de análisis (en mi escuela, el álgebra lineal sirvió como curso de introducción a las pruebas), por lo que sería un buen lugar para comenzar a practicar y acostumbrarse a las pruebas. También he oído cosas buenas acerca de cómo probarlo.