Mi teorema favorito es el teorema de Skolem-Löwenheim, que establece que todo sistema matemático de primer orden (sintaxis, axiomas y métodos de prueba) que tiene un modelo de cualquier cardinalidad tiene un modelo contable que consiste en las descripciones de los objetos que se pueden expresar dentro de el sistema.
Esto significa, por ejemplo, que hay un modelo contable de los números reales incontables y modelos contables de todos los sistemas infinitamente infinitos de la teoría de conjuntos. Por supuesto, no podemos construir estos modelos, porque no podemos saber exactamente qué expresiones definen realmente los números o los conjuntos, y cuáles dependen de propiedades imposibles, como el círculo cuadrado proverbial.
Por ejemplo, podemos especificar un número real para que cada dígito dependa de alguna oración indecible. Entonces no podremos evaluar un solo dígito.
Más perversamente, podemos nombrar el número cardinal más pequeño que no tiene descripción en una determinada teoría de conjuntos con un buen ordenamiento, es decir, el Axioma de elección. Pero esa es una descripción de un cardinal que necesariamente existe, porque cada conjunto bien ordenado tiene un miembro inicial. Pero está definido, y la definición dice que no tiene definición en el sistema. La salida es que esta descripción no se puede expresar en el sistema.
- ¿Qué opción es más beneficiosa, aprender haciendo o aprendiendo leyendo?
- ¿Por qué nos gusta descubrir cosas nuevas?
- ¿Cuál es la mejor manera de aprender cómo funcionan las redes?
- ¿Pasar más de una hora en un intento de comprender completamente una sola oración es exagerar cuando se aprende un idioma?
- ¿Por qué mi cerebro es tan débil?
