Resulta que la percolación se puede tratar con la misma teoría que usamos para las transiciones de fase en la termodinámica, que es la misma que usamos para el magnetismo, para las reacciones de polímeros, para la propagación de virus a través de una población y en varios otros contextos. Esto se llama la teoría de los fenómenos críticos.
Esto es inesperado. Estos sistemas tienen muy poco en común: ciertamente, su composición microfísica es muy diferente y, sin embargo, bajo ciertas circunstancias, pueden modelarse de una manera común.
Mostrando cómo y por qué se puede hacer, ganó su descubridor un premio Nobel.
Vamos a esbozar el enfoque.
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Los sistemas que experimentan transiciones de fase tienen una cantidad asociada conocida como el “parámetro de orden”, que caracteriza el orden inherente al estado del sistema. Normalmente, este parámetro es cero en un lado de la transición (el lado desordenado) y no en cero en el otro (el lado ordenado).
Por ejemplo, el parámetro de orden de los sistemas ferromagnéticos es la magnetización promedio del sistema. Es cero por encima de la temperatura de Curie, no cero por debajo de ella. En el agua cerca de su punto triple, el parámetro de orden es la primera derivada de la energía libre.
En la percolación, el parámetro de orden se define como la probabilidad de que cualquier sitio en particular sea parte de un “grupo de expansión”, es decir, uno que esté conectado de un lado del material al otro. Aquí hay una imagen de una filtración en 2D con un grupo que se marca en rojo.
Por lo tanto, nuestro parámetro de orden es la probabilidad de que una línea elegida al azar sea parte de este grupo de expansión.
Justo debajo del número de líneas donde se produce la percolación, la probabilidad es claramente cero (no hay un grupo de expansión). A medida que se produce la percolación, la probabilidad se convierte en finita, pero pequeña (por ejemplo, en la imagen), y luego aumenta rápidamente hasta aproximarse a 1 cuando casi todas las líneas se vuelven parte de un grupo totalmente conectado.
En general, identificamos una transición de fase de primer orden al tener una discontinuidad en este parámetro de orden en el momento de la transición de fase (por ejemplo, congelación de hielo, donde el orden de los cristales de hielo salta de cero en líquido a no cero como Aparecen cristales). Identificamos una transición de fase de segundo orden, ya que siempre es continua en el parámetro de orden, pero tiene una discontinuidad en la primera derivada del parámetro de orden a medida que pasa por la transición.
A partir de esta definición, ya podemos ver que la percolación no es una transición de fase de primer orden utilizando la definición anterior. Las transiciones de fase se estudian en celosías infinitas (es una larga historia para mostrar por qué, pero lo son), por lo que cuando aparece la percolación (es decir, solo hay un grupo que se extiende), la probabilidad va de cero a infinitesimal, y luego aumenta sin problemas. de cero a aproximación rápida 1. Es posible mostrar que no es discontinuo en el parámetro de orden, sino que es discontinuo en su primera derivada.
Pero esto es un poco insatisfactorio. Quizás se esté preguntando por qué decidimos aplicar los mismos conceptos a la filtración que los que trabajaron para el ferromagnetismo o el punto triple del agua.
Aquí es donde entra la parte realmente interesante y también la extraña.
La parte extraña es que a medida que se aproxima al punto crítico en todos estos sistemas (es decir, el punto de percolación o magnetismo o licuefacción), algunas cantidades físicas comienzan a comportarse de manera exponencial. Es decir, a medida que “sintoniza” el sistema más cerca y más cerca de su punto crítico, estas cantidades cambian de manera proporcional a [math] e ^ k_ {i} x [/ math] donde [math] k_ {i} [/ math ] es una constante llamada “exponente crítico”.
Para la percolación, las cantidades que se comportan exponencialmente incluyen el parámetro de orden, la longitud media del grupo, la densidad de los grupos y la divergencia del tamaño medio del grupo. Cada uno se caracteriza por su propio exponente crítico cercano al punto de percolación: nos da un conjunto de cuatro números independientes.
Ahora lo extraño es que cuando haces lo mismo para un sistema que experimenta una transición ferromagnética a través de la temperatura de Curie, o de un punto triple de agua, obtienes los mismos exponentes críticos. Es decir, los mismos cuatro números quedan fuera de los experimentos en todos estos sistemas diferentes [1].
La teoría que explica esto se llama Renormalización y ganó el Premio Nobel para Kenneth Wilson en 1982. A grandes rasgos, Wilson pudo mostrar cómo cada uno de estos sistemas dispares podría volverse auto – similares a diferentes escalas cerca de sus puntos críticos, y así La nueva simetría (la simetría del grupo de renormalización) domina su dinámica en lugar de la dinámica de los materiales de los que están compuestos. Esto explicaba por qué se podía observar el mismo comportamiento en el agua, en los imanes, en los líquidos que se filtran y en los virus que se propagan a través de una población a medida que todos se acercaban a su punto crítico.
Este comportamiento crítico es la firma de una transición de fase de segundo orden, y es este comportamiento universal el que surge a medida que nos acercamos al punto crítico, y el trabajo de Kenneth Wilson que muestra por qué ocurre esto, nos hace estar tan seguros de que la percolación es un segundo orden. transición de fase.
[1] En realidad, es un poco más complicado que esto. Hay más de una clase de universalidad: es decir, un conjunto de fenómenos que comparten exponentes críticos idénticos. Y, en particular, depende de si la percolación es dirigida o no dirigida en qué clase de universalidad terminas, por lo que puede no ser lo mismo que el modelo de Ising, que es el modelo utilizado para el ferromagnetismo.