¿Demostraron los teoremas de incompletitud de Godel que las matemáticas son inagotables? ¿Es la disciplina de las matemáticas un misticismo terrenal o una religión secular en sí misma y los matemáticos o entusiastas de las matemáticas son sus devotos?

Answer 1

i ¿Demostraron los teoremas de incompletitud de Godel que las matemáticas son inagotables?

Sí, en el siguiente sentido. Ahora sabemos que nunca podremos escribir solo un conjunto de axiomas y decir “las verdades de las matemáticas son exactamente los teoremas que pueden probarse a partir de estos axiomas”. En cambio, investigamos qué teoremas son demostrables a partir de qué axiomas. Nunca terminaremos de inventar nuevos sistemas de axiomas.

¿Es la disciplina de las matemáticas un misticismo terrenal o una religión secular en sí misma y los matemáticos o entusiastas de las matemáticas son sus devotos?

Bueno, para acuñar una frase, eso se intensificó rápidamente.

No veo cómo se relacionan las dos preguntas. Puedo pensar en dos posibles interpretaciones:

1. Los axiomas son como los principios de una religión, creídos a través de la fe cuando no puede haber pruebas.

   Si esto es lo que quieres decir, entonces diría que las matemáticas posteriores a Godel encajan menos bien con esa descripción. Solíamos tener (o tratar de llegar a) un conjunto de axiomas que vimos como * los * axiomas de las matemáticas, y que un axioma era una verdad obvia. Esto fue cierto en el tiempo de Euclides y podría decirse que hasta principios del siglo XX. Entonces, tal vez podrías haber argumentado que creíamos esos axiomas en la fe.

   Después de Godel, no lo hacemos, y solo investigamos las consecuencias de diferentes conjuntos de axiomas sin considerar a nadie como más verdadero o falso que los otros. Esto hace que las matemáticas sean menos como una religión.
2. Del teorema de Godel, te sientes lleno de asombro y la sensación de que estamos investigando algo metafísico, no algo que fue inventado por los humanos.

   Este es un sentimiento muy común. Ha habido, y todavía hay, muchos matemáticos que creen que los objetos matemáticos existen en algún sentido, y estamos descubriendo sus propiedades. Tal vez sorprendentemente, Godel fue uno de ellos. Platón era otro, y por esta razón, los matemáticos y filósofos de las matemáticas que creen que esto se suele llamar platónicos.

   No creo que haya habido una encuesta o alguna otra forma de descubrir qué tan común es la creencia en el platonismo entre los matemáticos. Los resultados de Godel se han contado como evidencia tanto a favor como en contra del platonismo. Evidencia para el platonismo porque parecieron poner fin al proyecto de Hilbert de reducir todas las matemáticas a solo la manipulación simbólica (esta era la opinión de Godel). Evidencia contra el platonismo porque, nuevamente, significan que nunca tendremos el único conjunto verdadero de axiomas.

Answer 2

Hay una rama de las matemáticas lo suficientemente estrecha como para que exista un procedimiento de decisión: la geometría euclidiana elemental. (No es una extensión de la aritmética, por lo que el teorema de incompletitud de Goedel no se aplica a ella. En la geometría euclidiana elemental, no es posible expresar “la longitud del segmento de línea [math] AB [/ math] es un número entero múltiplo de la longitud del segmento de línea [math] CD [/ math] “debido a la necesidad de una definición por inducción o algo similar.) En principio, esto significa que cuando tiene una conjetura al respecto, puede asignársela a Computadora y puede responderla, ya sea probándola o refutándola.

¿Se agota la geometría euclidiana elemental por esto? Es cierto que no es un tema de investigación realmente interesante, pero voy a decir que no. Todavía hay personas que a veces estudian los centros de triángulos (compare Encyclopedia of Triangle Centers – Wikipedia). Tener un algoritmo que en principio puede responder preguntas no es tan útil como podría pensarse. El algoritmo en sí puede tardar mucho tiempo en ejecutarse.

Así que diría que el teorema de incompletitud de Goedel solo evita que otros campos se reduzcan al mismo estado que la geometría euclidiana elemental, pero incluso si un campo tiene una axiomatización completa o un procedimiento de decisión, eso no significa que se haya agotado.

Answer 3

Si las matemáticas son un invento humano, y alguien puede proporcionar una garantía de que todas las matemáticas que inventamos están libres de autocontradicción, entonces los teoremas de incompleta de Godel demuestran que las matemáticas son inagotables, según la respuesta de Alon Amit. Desafortunadamente, nadie puede proporcionar la garantía requerida.

Si, por otro lado, las matemáticas son algo que existe independientemente de nosotros y, por lo tanto, es algo que descubrimos, entonces es posible que algún día alcancemos el límite de todas las matemáticas que están por descubrir. A menos, claro está, que el mecanismo que produce estas matemáticas siga activo. Esta es la línea de pensamiento que exploro en QO. Supongamos que todo comenzó con un solo cuanto …

Y tal vez la situación real sea un poco de ambos. Hay matemáticas que descubrimos y matemáticas que suceden. Me inclino a estar de acuerdo con Brouwer en que la Teoría de conjuntos de Cantor es definitivamente de este último tipo.

Answer 4

Algunas de las preguntas pueden ser complicadas, pero en realidad los antiguos cultistas griegos miraban los conceptos matemáticos de una manera semirreligiosa. Por ejemplo, el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 no era racional (no podía expresarse como la proporción de dos números naturales) se consideraba una especie de terrible secreto, que revelaba una imperfección en el corazón de la existencia. Y Platón es bien conocido por elevar los números al estado de entidades metafísicas (más allá de las físicas).

A principios del siglo XX, las matemáticas en la civilización occidental se habían convertido en lo contrario. Cuanto más cuantificable y numérica era una disciplina, más “científica” fue considerada. La máxima expresión de este sentimiento … de las matemáticas como libres de misticismo … fue el programa formalista propuesto por David Hilbert. Buscaba poner las matemáticas en un entorno tan firme y puramente lógico, que no tuviera ningún rastro de misticismo.

Godel lanzó una llave inglesa en este programa “lógico”.

Los Teoremas de Incompletitud de Godel demuestran que las matemáticas no son ajustables, en cierto sentido. Implican que no se puede dar un conjunto fijo de axiomas para la teoría de números que generaría todas las proposiciones verdaderas sobre los números. En consecuencia, siguen surgiendo problemas desafiantes que requieren conceptos completamente nuevos y nuevas áreas de matemáticas para resolver. Un ejemplo es el último teorema de Fermat.

El punto … que es algo que Godel podría haber predicho … es que este teorema puede establecerse en un sistema simple de teoría de números, pero no se puede probar en ese sistema. Por lo tanto, los matemáticos siempre tienen que idear nuevos principios que declaran como “axiomas”. Es un proceso que nunca necesita terminar.

Answer 5

Que las matemáticas son inagotables era bastante obvio mucho antes de los teoremas de Gödel. Incluso el optimismo expresado por Hilbert en su famoso “Wir müssen wissen – wir werden wissen!” Fue más un grito de guerra, no una expectativa de que algún día alguien probará el último teorema y llamaremos “acabadas” a las matemáticas.

Los teoremas de Gödel proporcionan una cierta noción precisa de inagotabilidad , ya que las teorías de primer orden pueden extenderse para siempre con afirmaciones de coherencia. De acuerdo con el segundo teorema de incompletitud de Gödel, cualquier teoría puede extenderse hasta obtener una teoría decididamente más sólida, y existe una teoría muy intrigante de lo que sucede cuando se sigue haciendo esto en cualquier número ordinal de veces. Torkel Franzén escribió un libro maravilloso [1] sobre ese mismo tema.

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No hay nada en común entre la práctica de la investigación matemática y el misticismo, terrenal o no, o religión. No tengo idea de lo que se supone que significa “religión secular”, y qué percepción obtenemos de los “devotos” de los matemáticos. No hay necesidad ni significado de ningún sentido de “devoción” en el estudio o la investigación de las matemáticas. Una persona puede optar por dedicarse a cualquier esfuerzo, por lo que si todos somos “devotos” (de matemáticas, piano o cocina), el término pierde algún significado.

Notas al pie

[1] La inagotabilidad: un tratamiento no exhaustivo: notas de clase en Logic 16

Answer 6

Se puede decir que la existencia misma es inagotable. Entonces, ¿por qué no serían las matemáticas que se incluyen en ellas? O, como muchos podrían decir (bromear), los matemáticos hablan con Dios, ¿entonces las matemáticas son anteriores (parte de LOGOS)?

Ah, ¿pollo o huevo? En cualquier caso, los ‘límites’ necesitarían una revisión.

Ahora, la religión? Piense ‘conformidad escrupulosa’ – esto es arcaico pero realmente significativo. Eso es obvio.

Oh, ¿pero todos nos hemos acomodado en solo unas pocas formas de uso de la ‘religión’?

Lo que está pendiente es una mejor mirada. Esa ‘subjetividad’ como tema de discusión se descartó para que la ‘objetividad’ pueda reinar, instigando, si así lo hiciera, las matemáticas y su progenie, la computadora, nos dice mucho. ¿Han pasado casi dos siglos desde que se realizó algún trabajo en esa área?

Me parece que hay nociones que se manejan mejor peripateticamente. Es decir, son de experiencia humana. ¿No las matemáticas?

Answer 7

Desde un punto de vista práctico , según mi conocimiento, las matemáticas son básicamente en la medida en que llegan desde una religión.

El enfoque comunitario de las nociones y la enseñanza, que incluso podría justificar en parte el dogmatismo con el que se enseñan las nociones matemáticas en las escuelas públicas, es generalmente que nadie tiene nada que ocultar, y todos y cada uno de los estudiantes pueden y deben dudar de todo hasta que estén convencidos de la Validez de sus argumentos.

Ningún otro campo, que yo sepa, permite e incluso promueve esta “desconfianza” entre sus alumnos.

Por lo tanto, diría que “acusar” a las matemáticas de ser de tipo religioso y una forma de “misticismo” es un ejemplo extraño de un fenómeno que no conozco como se llama:

Que el elemento con la fama de ser “lo más importante” es a menudo el objetivo preferido de una acusación de no ser perfectamente “algo”.

Por ejemplo, entre las ciencias, la física tiene la fama de ser la más minuciosa y rigurosa, y como tal, resulta natural (para las personas adeptas al pensamiento crítico) someterlo a juicio, y criticarlo severamente cada vez que parece que su argumento no es válido. no es perfecto

Al mismo tiempo, olvidamos que estamos aceptando, sin pensamiento crítico, nociones de otros campos, cada vez menos famosos, como la medicina o la psicología, o incluso la filosofía, o incluso nuestras propias suposiciones sobre el mundo.

A menudo soy culpable de esto.

Es auto contradictorio dudar de las afirmaciones de la física moderna al mismo tiempo que utiliza nociones de filosofía descuidada y psicología del oído para respaldar los argumentos de uno, pero a menudo sucede.

Entonces, cuando realmente tratas de ver las cosas de manera imparcial, deberías ver que los campos como la física y las matemáticas, con sus respectivas comunidades, aunque no sean perfectos, siguen siendo los más rigurosos que puedes encontrar, por lo que, desde cualquier punto de vista razonable, sólo hay dos opciones:

• (básicamente) todo en el conocimiento humano es una forma de misticismo y religión; o
• Las matemáticas (¿y la física?) no lo son.

Dicho esto.

Hay una gran parte de la comunidad de matemáticos que parece creer que las matemáticas tienen que ver con algo real y, como tal, deberían luchar hacia las “verdades reales” hipotéticas tanto como sea posible.

A veces se puede escuchar a estas personas discutiendo si “deberíamos” tomar el axioma de elección, o tal vez la hipótesis del continuo, en nuestro entorno axiomático.

Todavía hay muchos matemáticos intuicionistas, constructivistas y finitistas, que ocasionalmente participan en discusiones envenenadas con el resto de la comunidad sobre cómo su modelo es “el correcto” y todos los demás son demasiado tontos para no verlo.

Con esto no quiero generalizar una mala reputación a la totalidad de estas categorías; de hecho creo que yo también soy un poco intuicionista.

A lo que me refiero es que, al final del día, aceptar argumentos y pruebas en matemáticas todavía requiere una especie de “sentimiento de tripa”.

Aún requiere que tengas una profunda intuición de que “sí, este argumento, este único pasaje lógico, es sólido”.

¿Qué justifica esa intuición?

¿Honestamente?

El hecho de que la mayoría de las personas (= matemáticos) parecen estar de acuerdo contigo. Lo que podría considerarse un argumento convincente ya que la mayoría de esas personas, como usted, pasaron años perfeccionando sus habilidades de razonamiento, dudando de sus propias intuiciones hasta que fueran lo más claras posible.

¿Pero eso prueba más allá de toda duda que el argumento es sólido? No.

¿Existe la posibilidad de que tal vez, solo tal vez, el entorno académico de las matemáticas, sin el conocimiento de nadie, incluidos sus propios miembros, haya alimentado un sesgo hacia un tipo específico de “sentimiento visceral” que está detrás de todas las matemáticas y su así llamado ” pruebas “, creando una especie de máquina gigante de” lavado de cerebro “?

Bueno, en cierto modo yo tiendo a creerlo.

De hecho, “lo que significa ser riguroso” es básicamente una cosa que se enseña más o menos explícitamente en las universidades de matemáticas.

Cuando llegan nuevos alumnos, los maestros tienen que cuidarse de hacer comentarios como “podría estar pensando que esto es obvio, pero tenemos que demostrarlo”.

El “sentido” de cuánto es riguroso un argumento no es innato, se enseña.

Entonces, mientras todos (espero) hacen todo esto con la mejor de las intenciones, creyendo que están promoviendo la búsqueda de la verdad (lo que es más probable que estén haciendo), creo que una evaluación más detallada es que en su mayoría solo están enseñando Lo que les enseñaron.

Digo esto porque, por lo que puedo decir, lo mismo (es decir, capacitar a los recién llegados con respecto a qué argumentos son creíbles y cuáles no) sucede en todos los demás campos humanos: sucede en la física, en todas las demás ciencias, en La filosofía, en campos humanísticos como la historia y la literatura, y ocurre en las religiones institucionales.

Y los humanos son muy susceptibles a solo aceptar que algo es creíble porque son enseñados por alguien en quien confían.

A veces me quedo estupefacto por cómo ciertas “religiones” y los mistificadores pueden engañar a sus “clientes” con argumentos que, para mí, son claramente erróneos y, a veces, incluso contradictorios.

Este tipo de efecto mistificador es muy probablemente contrarrestado fuertemente por el enfoque de las matemáticas, donde el método en sí se basa en la duda. ¿Pero esto lo neutraliza completamente?

La hermosa mentira es que las personas educadas somos “más inteligentes” porque estábamos más entrenados para pensar críticamente y, por lo tanto, quizás tenemos más “autoridad” para juzgar si un argumento es objetivamente acertado.

¿Pero es eso … verdad?

* La música inquietante se reproduce en el rollo de créditos *

Answer 8

Sí, los teoremas de incompletitud de Godel demuestran que las matemáticas son inagotables.

Una religión es un conjunto de creencias que uno toma por razones sociales, para estar en solidaridad con un grupo que tiene las mismas creencias. O es un conjunto de supersticiones transmitidas de generación en generación sobre la base de que existe un valor de supervivencia al creer lo que su mamá le dice en lugar de tratarlo con escepticismo. (“No toques a la serpiente, Querido”. “No te burles del Hombre Mágico de la Barba Invisible”.)

Las matemáticas son “misticismo” porque pueden provocar transportes de placer.

Las matemáticas son una religión, ya que dan membresía a un grupo social que muchos encuentran gratificante.

Las matemáticas no son una religión, ya que sus principios no requieren que la fe los acepte, son verificables y falsificables.

Answer 9

Este es el ejemplo simple que cierra cualquier misterio.

El teorema de álgebra “principal” de que cualquier polinomio con coeficientes reales tiene al menos una raíz no tiene ninguna prueba en álgebra. Tiene la única prueba en el análisis de complejos.