Sí, las tautologías pueden ser significativas de diferentes maneras. Por un lado, una tautología puede proporcionar un “atajo” al conocimiento que, en teoría, tienes pero que deberías computar. Para dos, una tautología puede ser una señal de que una idea es importante o vale la pena considerarla.
Conocimiento
En última instancia, cada declaración matemática comprobable se reduce a una tautología. Y, en cierto sentido fundamental, la tautología no contiene ninguna información nueva: puede derivarse directamente de los axiomas que tiene, ¡si se le da suficiente tiempo! Los axiomas codifican toda la información que necesita para comprender todo el sistema. Teóricamente
En la práctica, sin embargo, simplemente no puede derivar la mayoría de los teoremas. No se te da suficiente tiempo y no tienes la capacidad mental. Entonces, de inmediato, una tautología puede ser significativa como atajo : le ahorra el esfuerzo de calcular cierta información que, en principio, tiene, pero sería realmente costoso obtener.
Este es un ejemplo concreto: usted sabe que un número es primo si solo es divisible por sí mismo y por uno. Esta es información suficiente para saber en teoría si un número dado es primo. Pero ¿sabes si 26322600625329 es? En realidad no: no puedes resolver esto fácilmente (al menos en tu cabeza). Por lo tanto, la declaración “26322600625329 es primordial” es significativa y útil, y le ahorra todo ese trabajo a pesar de que es una consecuencia directa de la definición de “primo”.
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Esencialmente, hay una distinción entre lo que puede calcular en la práctica y lo que puede calcular en teoría ; Si bien una tautología no puede decirle nada nuevo en el sentido teórico, puede decirle algo que no podría saber en la práctica.
Señalización
En una nota similar, una tautología puede ser una buena señal de importancia . Después de todo, en matemáticas, generalmente no nos molestamos en afirmar o probar teoremas completamente aleatorios. En su lugar, nos centramos en las cosas que son interesantes o elegantes o útiles. Por lo tanto, ver una prueba matemática no solo significa que alguna afirmación es verdadera (que es la tautología) sino también que alguien consideró que valía la pena afirmar. Esto es interesante porque es lo que realmente separa a las computadoras de los humanos en cuanto a probar teoremas y trabajar en lógica: las computadoras pueden probar las cosas muy rápido pero no pueden elegir qué probar .
Esto se aplica tanto al habla informal como a las matemáticas. Las personas a menudo usan tautologías retóricamente para subrayar la importancia de algo. Un buen ejemplo es la frase común “los niños serán niños”: por un lado, es claramente una tautología; por otro lado, en realidad tiene un significado (algo así como “este comportamiento tiene sentido porque está en la naturaleza de los niños”).
