¿Es el universo, topológicamente hablando, un conjunto abierto?

Answer 1

La condición de la que habla en los detalles, que una secuencia infinita tiene un punto límite, se denomina compacidad secuencial . Si un espacio se comporta razonablemente bien, entonces se puede incrustar en algún espacio euclidiano de dimensión finita; Según el teorema de Heine-Borel, se deduce que el espacio es secuencialmente compacto si y solo si está delimitado y forma un subconjunto cerrado del espacio ambiental euclidiano.

Note, como la respuesta de Justin Rising a ¿Es el universo, topológicamente hablando, un conjunto abierto? ha mencionado, que estar “cerrado” en este sentido no es una propiedad intrínseca de su espacio, sino más bien una propiedad de la inserción en un espacio euclidiano, por lo que no tiene sentido preguntar si un conjunto está “cerrado” en este sentido por sí mismo; lo que probablemente querías preguntar era si tenía una inmersión cerrada en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math].

Permítanme también resaltar que incluso en un espacio secuencialmente compacto, una secuencia puede tener más de un punto límite, solo se garantiza que tenga al menos uno. Por ejemplo, considere la secuencia 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, … Esto tiene dos puntos límite, 0 y 1. Para un análogo discreto, la función sin tiene todos los números entre – 1 y 1 inclusive como punto límite como [math] x \ to \ infty [/ math]. Si desea un punto límite único , necesita una condición en la secuencia o función, no solo en el espacio. Para las secuencias, generalmente se requiere la condición de Cauchy: que los puntos de la secuencia se acercan arbitrariamente entre sí. (Por supuesto, eso solo funciona en un espacio métrico, donde tiene una noción significativa de distancia, no en un espacio topológico arbitrario, donde no la tiene).

Para referencia:

• Punto limite
• Espacio secuencialmente compacto
• Espacio compacto
• Teorema de Heine-Borel
• Secuencia de cauchy

Answer 2

En cualquier espacio topológico, el espacio en sí es un conjunto abierto. Entonces sí, a menos que el universo no tenga una topología.

En respuesta a los detalles de la pregunta recién agregada, vale la pena mencionar que los axiomas de un espacio topológico requieren que todo el espacio esté cerrado también. Es un error común que los conjuntos abiertos no se cierren y viceversa. Ver Wikipedia en los conjuntos clopen para más detalles.