Cómo aprender la habilidad de construir modelos matemáticos para preguntas científicas.

Answer 1

Muy despacio (al menos en mi caso).

Hay / hubo ciertos pasos.

Aprender un buen marco para apoyar afirmaciones sobre (en clases).

Los marcos informaron la mayor parte de mi pensamiento. Son métodos generales para resolver problemas que generalmente se imparten en el aula. Los marcos no prueban el ingenio, prueban su capacidad para observar el sistema en detalle e identificar los parámetros que importan o no importan.

En las clases de física estándar, esto es en realidad bastante sencillo. En la escuela secundaria, son las leyes de Newton las que forman el marco por defecto: identifique las fuerzas relevantes, resuelva la ecuación resultante (en ocasiones diferencial) y ahora tiene un buen modelo para un sistema. En electrodinámica, son las leyes de Maxwell: todo lo que necesita es encontrar un campo E y B adecuado que satisfaga a los cuatro (por supuesto, generalmente evitamos eso a favor de la ecuación de Poisson o el potencial vectorial magnético), y ha adquirido la capacidad de Derivar modelos basados ​​puramente en la naturaleza del sistema. Los marcos de Lagrangiano y Hamiltoniano son el mejor ejemplo de esto: garantizan las leyes de fuerza correctas en caso de que uno encuentre un Lagrangiano adecuado.

Este fue el paso más importante. Creo que me dio la confianza de que sabía, en principio, cómo resolver un problema novedoso desde los primeros principios. Este sistema casi algebraico de simplemente “reescribir” el sistema en la forma apropiada es muy agradable y, con la práctica suficiente, se presta a una forma casi automática de pensar acerca de los matices de su sistema.

Comenzando con los casos simples, y repitiendo la complejidad (en un trabajo independiente).

Hace poco estuve involucrado en investigaciones sobre física atmosférica, para lo cual tuve que construir un modelo de convección radiativa unidimensional simple (si te he puesto a dormir, solo necesitaba averiguar cuánto calor se estaba transfiriendo entre las capas del Atmósfera de la tierra, sol y absorbentes comenzaron.

Ahora, tales modelos ya existen, pero para sistemas muy simplificados (una capa masiva que simula la atmósfera, por ejemplo), no parece haber un sistema general para escalar hasta varias capas, o al menos no hay un sistema general que tenga sentido (Todo es magia negra, te lo digo). En otras palabras, no podía seguir la lógica de estos sistemas. En lugar de basarme en estos antecedentes, pensé que intentaría trabajar en otro modelo (simplificado), pero que al menos me permitiera tratar la atmósfera de manera más realista (aprovechando las capacidades de calor específicas).

Así que construí un sistema diseñado para varias capas de la atmósfera. Tenía todo escrito y planeado. Codifiqué todo el asunto durante un par de semanas y lo dejé correr. Solo pensé que lo necesitaba una vez.

Fue un fracaso catastrófico. Si ejecutaras la simulación durante quinientos años (estábamos estudiando transferencia radiativa a largo plazo), obtendrías que la Tierra crecería a cero grados Kelvin en temperatura. Por razones obvias, mi modelo era insostenible. ¿Cómo iba a solucionar estos problemas?

Mi supervisor en ese momento tuvo una muy buena idea, una que he encontrado indispensable desde entonces. Su consejo fue simple: en lugar de construir un modelo en su totalidad, verifique si el caso más simple reproduce un comportamiento conocido . Si no es así, intente explicarlo o abandone su modelo por completo.

En ingeniería de software, la máxima correspondiente es fallar rápidamente . Es un gran truco que algunos de mis profesores usaron en las clases teóricas, pero algo que aparentemente necesitaba que me recordaran cuando me enfrentara a un trabajo real. Los modelos de cualquier complejidad siempre deben verificarse contra los hechos sin procesar antes de hacerlos más complejos.

Comparando otros modelos / otros enfoques (en clases y trabajo independiente)

Una de las mejores cosas de mis clases de ciencias sociales fue que realmente me enseñaron a pensar cuidadosamente acerca de las comparaciones. La mayoría de los sistemas son realmente complejos, por lo que obviamente hay muchas maneras de controlarlos de alguna manera. Construir un modelo a menudo puede significar simplemente comparar modelos existentes y ver dónde todos ellos tienden a fallar. Esto simplifica su tarea: en lugar de construir un modelo completo desde cero, puede usar un modelo existente y descubrir cómo parametrizar y controlar el lugar donde el modelo tiende a fallar. A veces incluso puedes combinar dos enfoques.

Por lo general, no es muy fácil hacer esto fuera de clase, cuando no tiene a alguien que lo supervise y le diga cuál es el camino correcto. Tienes que compensarlo realmente leyendo sobre los modelos, y luego yéndose a pensar en ellos.

---

Así es como aprendí a construir modelos matemáticos, al menos. No estoy seguro de si alguna vez usaré esas habilidades ahora (ya no planeo convertirme en un investigador), pero fueron útiles para mí cuando las solicité.

Gracias por la A2A!

Answer 2

Realmente me gusta la respuesta de Akshat Mahajan. En mi opinión, aprender a construir modelos es un proceso de aprendizaje a largo plazo, y no puedo identificar o señalar uno o dos eventos que me hayan ayudado. Todavía creo que hay dos desafíos cruciales con los que a menudo lucho:

• Descubrir la forma más inteligente y rápida de parametrizar un modelo, sin tener que buscar demasiado espacio de parámetros (o tiempo de cálculo).
• Overfitting: entender (a) cómo funcionan los parámetros del modelo en sistemas distintos al conjunto de control, y (b) la naturaleza del sesgo en el modelo.

Entonces, en cierto sentido, no creo que alguna vez me sienta adecuado para responder esta pregunta. Dicho esto, he estado expuesto a modelar en gran parte a través de la investigación. Trabajar con problemas reales, o tratar de reproducir el trabajo de alguien, es una de las mejores formas de mejorar tu habilidad. A pesar de que estuve expuesto a modelar en la escuela secundaria / preparatoria, no fue hasta que la investigación entendí, (a) la importancia de los modelos para comprender el comportamiento del sistema y, (b) qué tan fácil es influenciarse con un modelo malo. Estas son las cosas que creo que me han ayudado:

1. Entender los diferentes modelos : la familiaridad con los diferentes enfoques es clave. Saber cómo funcionan o fallan los diferentes modelos ayudará a comprender las formas en que su modelo puede fallar.
2. Marco teórico : o la capacidad de identificar variables relevantes / preguntas / suposiciones (ya mencionadas). Esto se puede adquirir de la educación en el aula.
3. Práctica : una de las mejores maneras de aprender es elegir un papel y reconstruir el modelo. Más a menudo que no, uno identificará errores de menor a mayor en el camino.

Finalmente, personalmente creo que los modelos matemáticos deberían introducirse de manera más rigurosa en la educación de biología. Los sistemas biológicos son altamente dinámicos, sin embargo, la mayoría de las clases de nivel inferior no le dan a los estudiantes la imagen correcta. Entonces, muchos concluyen que la biología es toda memorización, llena de imágenes estáticas. Aunque los sistemas biológicos son muy difíciles de modelar y los modelos no hacen un buen trabajo, es un gran lugar para aprender a (a) formular las preguntas correctas, (b) aplicar técnicas cuantitativas y (c) comprender las limitaciones de los modelos .

Answer 3

Soy del tipo que valora la experiencia práctica. Me sucede sobre todo por el estudio independiente de lectura de trabajos académicos. Pero solo puedo entenderlos porque he tomado clases relevantes. Para mí, los pasos son:

1. Encuentre una fuente de problemas interesantes (clase, investigación, charla, vida, etc.)

2. Busque los artículos relevantes publicados recientemente, cuyo contenido pueda leer y comprender con problemas razonables. Primer enfoque en introducción y antecedentes.

3. Profundice en citas del pasado que parezcan prometedoras y relevantes para su problema.

4. Una vez que comprenda lo que puede funcionar, cree el modelo más simple que pueda imaginar y pruébelo rápidamente

5. Si funcionó, construir sobre él más complejidad. De lo contrario, investiga por qué no funciona y sigue adelante.

Requiere un cierto nivel de conocimiento (de clase o de autoestudio) y un problema interesante que lo impulsa a pasar del paso 1 al paso 3. Cuando llegue al paso 4, obtendrá una pequeña recompensa por el cumplimiento de Usted modelo de trabajo simple. Eso se convierte en tu bebé y crece contigo a medida que desarrollas más detalles sobre él.

Los primeros modelos que construyas serán más o menos los mismos que los que otros han construido. A medida que pase el tiempo, podrá conocer más y más tipos de modelos y podrá comenzar a agregar diferentes componentes y filosofías a su modelo para el siguiente problema.

Necesitas crear muchos, muchos modelos para ser bueno en eso. Iterar a través de este proceso sin aburrirse las suficientes veces le permitirá ver la única definición de modelado que es adecuada para usted.

Answer 4

1. Aprende un montón de matemáticas (curso STEM división baja)
2. Aprende mucha ciencia (curso STEM división baja)
3. Practica aplicando matemáticas a la ciencia (cursos STEM de la división superior y escuela de posgrado)
4. Encuentra una nueva pregunta de ciencia con un modelo matemático (escuela de posgrado)
5. Descubra un nuevo modelo matemático para la ciencia (PhD o el mundo real)

También he “manipulado” los modelos y las matemáticas para predecir los comportamientos de la ciencia y la ingeniería desde que era un niño, por lo que es natural, sin esfuerzo y obvio usar las matemáticas para este fin. Las matemáticas son un lenguaje para mí similar a cómo el inglés es un idioma para las mariposas sociales extrovertidas. La escuela de ingeniería ayudó a consolidar esta zona de confort y placer en una disciplina de hierro.