¿Por qué una esfera con un radio finito puede tocar cuatro puntos en el espacio (que no son coplanares)?

Answer 1

A2A

Todos los puntos que pertenecen a la esfera tienen la misma propiedad, todos ellos están igualmente separados del centro de la esfera. Para cualquiera de los dos puntos, hay un número infinito de esferas que los tocan y cuyo centro debe estar en el plano de simetría entre los dos puntos.

Elija otro par de puntos y determinarán de forma única otro plano, es decir, un conjunto infinito de soluciones que satisfagan nuevamente la propiedad. La intersección de dos planos encontrados le da una línea que nuevamente es un conjunto infinito de soluciones válidas para dos pares de puntos. Cualquier punto de esa línea de intersección está igualmente distante de cualquiera de los puntos utilizados.

Finalmente, tome otro par de puntos que definen otro plano de su simetría. La intersección del plano con la línea anterior finalmente da un punto, un centro de simetría único que es equidistante de cualquiera de los puntos iniciales.

Observe que cada restricción adicional (con cada nuevo punto agregado) reduce el número de dimensiones de posibles soluciones. Para dos puntos, es un plano (2 dimensiones), para 3 puntos es una línea (1 dimensión) y finalmente para 4 puntos es un punto (0 dimensiones).

Uno puede discutir más a fondo las soluciones de esquina cuando algunos planos o líneas no tienen intersecciones, es decir, no hay soluciones en absoluto.

Answer 2

La prueba es bastante simple, 4 puntos (no coplanares) pueden hacer un tetraedro que posee 4 caras de triángulos, tomar cualquiera de los triángulos, simplemente ubicar el centro de un círculo que pasa por el vértice del triángulo (por intersecciones de líneas perpendiculares de puntos medios en cualquiera de los dos lados), luego haga una línea perpendicular en el plano de ese triángulo, ahora simplemente biseca (con un plano perpendicular) la línea que conecta el 4to punto con cualquier punto en el círculo que pasa a través de los vértices del triángulo, luego el punto De la intersección del plano con esa perpendicular normal desde el centro del triángulo, la elección sería el centro de la esfera requerida, cómo simplemente ver la similitud de dos triángulos, por lo que ya está

Por supuesto, alguien puede presentarlo mejor con figuras.

Answer 3

La pregunta es “¿Por qué cuatro puntos no coplanares en el espacio determinan una esfera?” Tenga en cuenta que no hace falta decir que los cuatro puntos son distintos.

Respuesta La ecuación más general para una esfera en tres dimensiones en coordenadas cartesianas rectangulares (x, y, z) es

[math] {(xa)} ^ {2} + {(yb)} ^ {2} + {(zc)} ^ {2} = {r} ^ {2} [/ math]

donde a, b, c son las coordenadas del centro de la esfera y r es su radio.

Es decir, la superficie esférica general tiene 4 parámetros independientes. Dado que la esfera toca cuatro puntos, se obtienen cuatro ecuaciones en cuatro parámetros independientes, para los cuales existe una solución única (excepto en casos ‘degenerados’). Cuatro puntos coplanares determinan una “esfera”, es decir, uno cuyo centro está en el infinito y cuyo radio es el infinito, que en realidad es un plano. Nota: no hay tres puntos colineales, pero eso está garantizado porque los cuatro puntos no son coplanares.

Más comentarios sobre el caso tridimensional . Si se dan cero, uno, dos o tres puntos, la esfera está sub-determinada, es decir, se puede encontrar un número infinito de esferas. Cinco o más puntos son generalmente sobre-determinantes, es decir, a menos que los puntos cumplan con las condiciones apropiadas, no se puede encontrar ninguna esfera (para una esfera dada, se puede elegir cualquier número de puntos en su superficie y si esos son los puntos dados, por supuesto, un la esfera puede ser ‘encontrada’).

Una y dos dimensiones . De manera similar, tres puntos no colineales determinan un círculo único en un plano (dos dimensiones). Dos puntos no coincidentes determinan una “esfera unidimensional” única en una línea, que son solo los puntos en sí mismos.

Gracias por pedirme que responda a esta pregunta.

Answer 4

Una prueba matemática sería difícil de expresar con palabras, así que permítame tratar de describir un experimento mental.

En primer lugar, voy a explicar que cualquiera de los tres puntos tendrá un círculo que los toque a los tres. Si ya lo cree, puede omitir el siguiente párrafo.

Cualquiera de los tres puntos, no importa donde se encuentren, son coplanares. Simplemente dibuje un triángulo entre los tres puntos y el plano de ese triángulo incluye los tres puntos. Ahora, esos tres puntos también tendrán un círculo bidimensional que puede tocarlos a todos, siempre y cuando no todos se encuentren en una línea recta. Para encontrar ese círculo, trace una línea directamente entre dos de los puntos (perpendicular al centro de la línea que los conecta). Esa línea incluye todos los puntos que están a igual distancia de los dos puntos. Repite eso con un par diferente de puntos. Donde esas líneas se cruzan es equidistante de los tres puntos. Ese es el centro de tu círculo, y la distancia a cualquier punto es el radio.

Ahora, tenemos tres puntos con un círculo que los conecta, y un cuarto punto flotando en el espacio en alguna parte. Imagina ese círculo en un anillo. Imagine una burbuja esférica lo suficientemente grande como para que su centro se apoye en el anillo (y se apoye en el lado donde está el cuarto punto). Esa burbuja se infla y se expande lentamente, quedando una esfera perfecta, hasta que finalmente toca el cuarto punto. Ahora, tienes una esfera que conecta los cuatro puntos.

Tenga en cuenta que este experimento mental funciona con cualquiera de los cuatro puntos, sin importar qué tan separados o orientados estén, a menos que todos se encuentren en el mismo plano. Así, cualesquiera cuatro puntos son co-esféricos.

Answer 5

La razón es que es igual a transitivo: es decir, si A = B y B = C que A = C.

Suponga que tiene cuatro puntos A, B, C, D. Ahora construye un plano que es una bisectriz perpendicular de la línea AB. Cada punto en este plano es equidistante de A y de B, es decir, OA = OB.

Se construye una segunda línea aC y se dibuja un plano que biseca esto en ángulos rectos. Los puntos en este plano son tales que OB = OC. Pero este plano debe, a menos que AB y C sean colineales, intersectar el primer plano de modo que haya una línea donde OB = OA y OB = OC, y esta línea contenga todos los puntos que son equidistantes de A, B y C.

Cuando repetimos para CD obtenemos un cuarto plano, el cual, si el punto D no se encuentra en ningún lugar del plano A, B, C, la línea que contiene los puntos equidistantes de A, B, C, debe golpear el plano que divide a C, D, por la razón de que si el plano C, D fuera paralelo a la línea equidistante de A, B, C, entonces D solo puede estar en el plano que contiene A, B, C.

Dado que la línea equidistante de A, B, C golpea el plano D bisectado en un punto, se deduce que hay exactamente un punto equidistante de cuatro puntos no coplanares.

Y esto funciona en todas las geometrías que soportan los planos de bisección.

Answer 6

Esto se debe a que, dados estos 4 puntos, existe un método que puede construir una esfera que toque los 4 puntos. Una búsqueda rápida en Google mostró esta página, que contiene varios métodos: Encontrar una esfera a partir de cuatro puntos

Preguntar ‘por qué’ en matemáticas no es tan útil. Las propiedades de conceptos matemáticos como los puntos en el espacio dependen de un conjunto de reglas (axiomas) que definimos anteriormente. Si se puede probar una propiedad a partir de esos axiomas, esa es toda la razón por la que necesita que esa propiedad sea verdadera. No hay Por qué, aparte de “Por qué elegimos ese conjunto particular de axiomas”.

Answer 7

Si puede cortar la esfera con dos líneas perpendiculares, habrá 4 puntos en la esfera, extienda las líneas a los planos perpendiculares y encontrará que hay 4 puntos (si considera que el borde está en contacto)

Simplemente haga los planos perpendiculares y obtendrá 4 puntos de borde de coplaner.

Answer 8

Si no hay tres puntos colineales, lo que sigue, ya que los cuatro puntos no son coplanares, entonces cualquiera de los tres puntos son coplanarios y también definen un plano y un círculo único en ese plano, que es solo el círculo circunscrito del triángulo que ellos definen

Sin embargo, hay una familia infinita de esferas que intersectan ese plano en ese círculo particular.

Los centros de esas esferas se encuentran a lo largo de la línea única que es normal al plano de los primeros tres puntos y también se interseca con el plano en el centro del círculo único definido por los tres puntos.

No hay ningún punto en el espacio 3, no en el primer plano que no se encuentra en una de esas esferas.

Puede construir la esfera que se requiere al encontrar un punto a lo largo de la línea que es el lugar de los centros de las esferas que intersecan el plano en el círculo único, un punto que es equidistante del centro del círculo y el punto dado de avion Ese punto es el centro de una esfera que contiene los cuatro puntos, ya que por su construcción es equidistante de los cuatro puntos.

Así que por eso es posible.

Answer 9

Dados cuatro puntos no coplanares, para cada par de puntos existe un plano cuyos puntos son equidistantes de ambos, la intersección de dos de esos planos es una línea recta cuyos puntos son equidistantes de tres puntos, y la intersección de esta línea a una tercera El plano (o un cuarto) será un punto equidistante de todos los puntos, entonces es el centro de la esfera.