¿Por qué no definimos enteros positivos con una secuencia infinita de dígitos como enteros irreales, ya que los usamos abiertamente después de la nota decimal?

Answer 1

NOTA : mi respuesta original se basó en la posible mala interpretación del significado de ” ¿los usamos abiertamente después de la nota decimal?”, Así que hice mi respuesta basada en números con un número infinito de dígitos después del punto decimal.

Pero para dar una breve respuesta a la primera parte de la pregunta:

¿Por qué no definimos enteros positivos con una secuencia infinita de dígitos como enteros irreales?

No necesitamos definir enteros que tengan una secuencia infinita de dígitos como “números irreales” porque cualquier entero con un número infinito de dígitos no es un número, y ya tiene una categoría. Llamamos a estos números con la etiqueta “infinito”.

No necesitamos una categoría adicional. “Infinito” cubre estos números muy bien.

El resto de mi respuesta se basa en mi interpretación de la segunda frase:

… ya que los usamos abiertamente después del punto decimal?

Hay dos tipos de números decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos

1. Los dígitos se repiten, como en:
   0.333333333333333333333… = [math] 0. \ overline3 \, = \, \ frac13 [/ math]
   0.142857142857142857… = [math] 0. \ overline {142857} \, = \, \ frac17 [/ math]
2. Los dígitos nunca se repiten, como en:
   √2 = 1.414213562373095048801688724209… (nunca se repite)
   π = 3.141592653589793238462643383279… (nunca se repite)

Los decimales con decimales infinitos que se repiten se llaman números racionales. Los números racionales también incluyen números enteros y decimales de terminación. Un número racional es cualquier número que se puede escribir como una proporción entre dos enteros cualesquiera, como [math] \ frac13 \, o \, \ frac17 [/ math], 0 y 7.

Los decimales con infinitos decimales que nunca se repiten se llaman números irracionales. No se pueden escribir como la relación entre dos enteros. Los números irracionales también incluyen números trascendentales.

Todo lo anterior son números reales. Entonces, ¿qué pasa con los números que NO son reales, o como los llaman, los “enteros irreales”? Bueno, no existe tal cosa como un “entero irreal” a menos que esté pensando en números complejos que son la suma de números enteros (u otros números reales) y números imaginarios.

Si describe un número entero con un número infinito de dígitos, no está realmente describiendo un número entero; estás describiendo “infinito” que no es un número, solo un concepto.

Por supuesto, como sabrán, podemos describir algunos números enteros con una serie infinita de fracciones, como esta secuencia que tiene una suma de 1.

[math] \ frac1 {2 ^ 1} + \ frac1 {2 ^ 2} + \ frac1 {2 ^ 3} + \ frac1 {2 ^ 4} + \ frac1 {2 ^ 5} + \ frac1 {2 ^ 6} + \ frac1 {2 ^ 7} + \ frac1 {2 ^ 8} + \ frac1 {2 ^ 9} +… = 1.0 [/ math]

[math] \ frac12 + \ frac14 + \ frac18 + \ frac1 {16} + \ frac1 {32} + \ frac1 {64} + \ frac1 {128} + \ frac1 {256} + \ frac1 {512} +… = 1.0? /mates]

Aquí hay una imagen que ilustra cómo estos números se suman a 1.

Siéntase libre de seguir extendiendo la imagen hasta el infinito si lo desea.

Answer 2

La secuencia infinita de dígitos después del punto decimal no es un número entero, “irreal” o de otra manera. Es una serie infinita. La representación decimal 0.abcdef … significa

[math] a10 ^ {- 1} + b10 ^ {- 2} + c10 ^ {- 3} + d10 ^ {- 4} + e10 ^ {- 5} + f10 ^ {- 6} + \ dots [/ math ]

Ciertamente podemos escribir una secuencia infinita similar en la dirección opuesta

[math] a10 ^ {0} + b10 ^ {1} + c10 ^ {2} + d10 ^ {3} + e10 ^ {4} + f10 ^ {5} + \ dots [/ math]

pero no significa nada porque no es una secuencia convergente, a menos que solo finamente muchos de los coeficientes sean distintos de cero. La primera serie es, probablemente, convergente cuando cada dígito toma los valores entre 0 y 9.

Sin embargo, puede manipular series de poder formales en las que 10 se reemplaza por una variable. Esos no tienen que ser convergentes en absoluto, y pueden tener los coeficientes que sean convenientes:

[math] \ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} a_i x ^ {i} [/ math]

Todo lo que necesitamos es una forma de especificar el coeficiente [math] a_i [/ ​​math] para un índice arbitrario [math] i [/ math], para que esté bien definido.

Answer 3

De hecho, es posible definir dichos números de una manera coherente e interesante: los llamamos p-adics. Sin embargo, no podemos simplemente definirlos de la misma manera que definimos las expansiones decimales. Requiere trabajo, y el hecho de que algunos p-adics tengan representaciones infinitas hacia la izquierda es más un subproducto interesante que una característica.

Answer 4

Un número, es esencialmente una serie de restos. Es decir, 58 es una serie de restos, después de contar en decenas, queda 8 y luego otra vez decenas 5.

Cualquier número finito se agota. Pero 58 = 000000000000058, por ejemplo.

Los números a la derecha son los residuos, donde uno toma una fracción, 10 veces, da otra fracción y el resto. Entonces 3/8 * 10 = 3 3/4, aquí 3/4 es la fracción y 3 es el resto. Esta fracción se agotará, pero la mayoría no lo hará.

Si el sistema numérico no tiene un cero, puede surgir que la secuencia de la izquierda es una fuente de residuos. Un ejemplo de esto es el complemento a 10, donde tomas un número como -1, lo divides por 10 (como 10 * -1 + 9), y deja -1 por el resto 9. Así que -1 es lo mismo que 9999999999999. Se usa en las computadoras.

Una base como 3, usando los dígitos m, 1, 3 (donde m = -1), puede representar cualquier número por el principio del resto, pero cero es m3m3m3m3m3m3m3m3 …

Answer 5

No hay elementos tales como enteros positivos con secuencias infinitas de dígitos, excepto en que se podría considerar que tienen una secuencia infinita de dígitos ‘0’ a la derecha del punto decimal.

Answer 6

Puede buscar los campos p-adic, que son un concepto algo similar.