Aunque no lo he investigado, dudo que haya algo misterioso detrás de la pregunta que hiciste, pero detrás hay una pregunta más interesante e interesante.
La aplicabilidad del axioma de CD en este contexto, como lo veo, no surge del uso de un sistema de coordenadas cartesiano per se , sino del hecho de que para nuestras cantidades físicas más fundamentales (tiempo, posición, masa) los números utilizados para expresar una magnitud se considera (se supone) que pertenecen al conjunto de los reales. Solo cuando asumes esto, existe una conexión entre un CCS y el axioma de CD.
La pregunta más profunda detrás de la suya es si es correcto suponer que estas cantidades fundamentales deben expresarse con números reales. Si las ideas que se sostienen en la actualidad sobre la duración y el tiempo de Planck son correctas, entonces existen intervalos físicos más pequeños, ya que los intervalos más pequeños serían más que significativos. En ese caso, se podría considerar que los números pertenecen realmente al conjunto más pequeño de racionales, a los que no se aplica el axioma de CD.
Incluso si uno no asume la existencia de cantidades más pequeñas como las unidades de Planck, sigue siendo el caso de que nunca podemos medir una cantidad con una precisión infinita. Entonces, estrictamente hablando, la suposición de que estas magnitudes son números reales no es verificable (si se descubren tales límites inferiores, esa suposición puede ser falsificada, pero no puede ser verificada, que yo sepa). De hecho, he visto matemáticos que creen que (las magnitudes expresables por) los números reales no existen en la naturaleza.
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Sospecho cómo esto se relaciona con nuestras teorías más fundamentales de la naturaleza aún no está claro. Las matemáticas de la relatividad general definitivamente presuponen números reales, ya que no se puede tener el tipo de variedad pseudo-riemanniana que se usa para modelar el espacio-tiempo sin ellos. Aunque hay cantidades cuantificadas en la teoría cuántica, en particular el momento angular, hay otras áreas en las que los números reales son esenciales para la teoría, más directamente en el requisito de que el espacio de Hilbert debe estar completo.
Hay conjuntos que son más grandes que los números reales, pero en este punto no tengo conocimiento de ninguna motivación física para tratar de modelar cualquier cantidad física utilizando esos. Por esta razón y porque tanto la relatividad general como la teoría cuántica parecen requerir números reales, mi opinión es que tenemos razón al usar números reales para la magnitud de nuestras cantidades físicas más fundamentales.