Asumiré que tu “mono” son las teclas del teclado al azar. No es que importe, pero supongamos que toca una tecla cada segundo. Y, para que sea sencillo, asuma que hay 50 teclas en un teclado.
Dada tu estipulación de ‘tiempo infinito’, el mono escribirá cada cadena finita de caracteres, un número infinito de veces. (Me duele escribir esto, ya que el significado de ‘una cantidad infinita de tiempo’ no está bien definido. Pero sé lo que quieres decir).
Divirtámonos un poco antes de contestar tu pregunta.
Supongamos, por el momento, que hay una breve prueba del Último Teorema de Fermat, una que tiene 4 páginas. Eso sería unos 10.000 caracteres. Obtener el primer carácter correcto sucede 1 de cada 50 veces. Hacer dos cosas correctas sucede 1 de 2500 veces. Obtener 10,000 correctos sucede 1 de [math] {50} ^ {10000} [/ math] veces.
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Como esta secuencia de 10,000 caracteres es tan probable que ocurra como cualquier otra secuencia de esta longitud, tomará aproximadamente [math] {50} ^ {10000} [/ math] segundos antes de que el mono escriba la prueba la primera vez que lo haga. asi que.
Esto es sobre [math] {10} ^ {17000} [/ math] años. Esto es alrededor de mil millones de billones … (inserte 2000 billones aquí) años. Primero, el Universo habrá “muerto” mucho antes de esto, y segundo, el mono estará muy hambriento para cuando escriba esto.
Tal vez sería bueno responder a su pregunta. Si hay una prueba “corta” del Último Teorema de Fermat, entonces, sí, el mono, en algún momento lejano, lo escribirá.
Sin embargo, la mayoría de los matemáticos no creen que haya una breve prueba del Último Teorema de Fermat. Por ejemplo, vea la respuesta de Alon Amit a ¿Hay alguna esperanza de una prueba elemental del Último Teorema de Fermat?
Si no hay pruebas breves, entonces el mono, por supuesto, no lo escribirá, entonces la respuesta es no, no importa cuánto tiempo tenga.