¿Por qué no está [math] \ sqrt {-2} = – \ sqrt {| -2 |} = – \ sqrt {2} [/ math] en matemáticas?

Answer 1

Vamos a empezar simplemente. Cuando escribe el signo de la raíz cuadrada sobre un número real positivo [math] a [/ math], [math] \ sqrt {a} [/ math], la regla es que el resultado siempre es positivo. A veces se llama la raíz cuadrada principal. Nunca es el número negativo que, al cuadrado, da [math] a [/ math].

Comencemos tomando raíces cuadradas de números positivos y veamos si podemos averiguar las reglas. Empecemos con cuadrados de reales, que siempre son positivos.

Para real [math] x [/ math], si [math] x \ ge 0, [/ math] entonces [math] \ sqrt {x ^ 2} = x. [/ Math]

¿Qué hacemos cuando [math] x <0 [/ math]? Entonces [math] -x [/ math] es positivo, entonces [math] \ sqrt {x ^ 2} = \ sqrt {(- x) ^ 2} = -x [/ math]

Al juntar estos dos, obtenemos el resultado [math] \ sqrt {x ^ 2} = | x | [/ math]

Podemos generalizar a [math] \ sqrt {xy} [/ math], donde [math] x [/ math] y [math] y [/ math] son ​​dos números reales que se multiplican juntos para ser un número positivo. Si ambos son positivos,

[math] \ sqrt {xy} = \ sqrt {x} \ sqrt {y} [/ math]

Si [math] x [/ math] y [math] y [/ math] son ​​ambos negativos,

[math] \ sqrt {xy} = \ sqrt {(- x) (- y)} = \ sqrt {-x} \ sqrt {-y} [/ math]

Así que la regla es si [math] xy \ ge 0 [/ math] entonces [math] \ sqrt {xy} = \ sqrt {| xy |} = \ sqrt {| x |} \ sqrt {| y |} [/ mates]

Entonces [math] \ sqrt {(- 9) (- 4)} \ ne \ sqrt {-9} \ sqrt {-4}. [/ Math] Volveremos a este.

Hemos llegado a la raíz cuadrada de los números negativos. La primera regla es realmente solo una definición de [math] i [/ math]. [math] i = \ sqrt {-1} [/ math]. Es nuestro primer número imaginario. [math] i ^ 2 = -1. [/ math] También, [math] (- i) ^ 2 = -1. [/ math] Pero al igual que la raíz cuadrada de un número positivo siempre es positiva, la raíz cuadrada de un número negativo es siempre un múltiplo positivo de [math] i [/ math].

Necesitamos una regla más para tomar la raíz cuadrada de cualquier número negativo. Si [math] x> 0 [/ math], entonces [math] \ sqrt {-x} = \ sqrt {(- 1) x} = \ sqrt {-1} \ sqrt {x} = i \ sqrt {x }[/mates]

Tenga en cuenta que sacamos el [math] x [/ math] positivo de la raíz cuadrada, dando [math] \ sqrt {x} [/ math], y dejamos el [math] -1 [/ math]. Así que ahora sabemos cómo convertir cualquier raíz cuadrada de un número negativo en [math] i [/ math] veces la raíz cuadrada de un número positivo. Por ejemplo,

[math] \ sqrt {-9} = i \ sqrt {9} = 3i. [/ math]

Entonces [math] \ sqrt {-9} \ sqrt {-4} = 3i \ cdot 2i = 6i ^ 2 = -6 [/ math]

Que uno sorprende a mucha gente. No lo confundas con

[math] \ sqrt {(- 9) (- 4)} = \ sqrt {36} = 6 [/ math]

No cometa este error: [math] \ sqrt {9} = \ sqrt {(- 1) (- 9)} \ stackrel {\ textrm {(incorrecto)}} {=} \ sqrt {-1} \ sqrt {-9} = i \ cdot 3i = -3 [/ math]

Lo que estamos aprendiendo es que lo único que puede sacar con seguridad de las raíces cuadradas son factores positivos , que salen como raíces cuadradas positivas. Entonces, para real [math] x [/ math] & [math] y [/ math],

[math] \ sqrt {x ^ 2 y} = \ sqrt {x ^ 2} \ sqrt {y} = | x | \ sqrt {y} [/ math]

No importa si [math] y [/ math] es positivo o negativo aquí, pero podemos estar seguros de que [math] x ^ 2 [/ math] no es negativo, por lo que sale de debajo del signo radical como [ math] | x | [/ math].

Entonces, [math] \ sqrt {-2} = \ sqrt {2 \ cdot (-1)} = \ sqrt {2} \ sqrt {-1} = i \ sqrt {2} [/ math]

No necesitamos escribir [math] i | \ sqrt {2} | [/ math] porque la raíz cuadrada de un número positivo siempre es positiva.

No hay forma de usar las reglas para retirar el inicio de sesión negativo como usted quiere. Poner [math] (- 1) ^ 2 [/ math] en el interior no le da un signo negativo, y le da a [math] | -1 | = 1 [/ math] cuando lo saca, ninguno de que es de ninguna ayuda La única forma de lidiar con las raíces cuadradas negativas es usar [math] i [/ math].

Answer 2

En primer lugar, una excelente respuesta de Dean Rubine. Puedo pensar en varias cosas adicionales aquí, aunque no en mi área:

• dimensionalmente, si [math] x [/ math] es un área (por lo tanto positiva), entonces [math] \ sqrt x [/ math] es una dimensión; Por lo general, olvidamos esto cuando tratamos con números “puros”, por lo que la pregunta es cuál podría ser el área negativa;
• la no linealidad de la raíz cuadrada [math] – [/ math] no solo se comporta de esta manera, sino que también se rompe en 0, donde va de forma abrupta desde el conjunto de números reales al conjunto de números imaginarios; esto puede verse geométricamente como una discontinuidad de un eje a otro independiente, es decir, un eje ortogonal;
• matemáticamente [math] \ sqrt {-1} = i [/ math], pero también puede extenderse a
  [math] \ qquad i = e ^ {i \ pi / 2} = e ^ {i \ pi (1/2 + 2n)}, n =…, -1, 0, 1, 2,… [/ math]
  Esto aumenta enormemente el número de soluciones, por lo que, naturalmente, no está contenido en la definición básica de [math] i [/ math]; Hablando estrictamente matemáticamente, no estoy seguro si estos son el mismo número después de todo;
• Desde el punto de vista físico / geométrico, las operaciones inversas aditivas (generalmente una simetría alrededor de 0) y de raíz cuadrada (mapeo conforme del plano complejo derecho) no son conmutativas porque actúan sobre diferentes conjuntos, etc.

No estoy seguro de si esta historia conduce a alguna parte, la próxima sería sobre la validez de la aplicación de estas estructuras matemáticas en la resolución de modelos físicos …

Answer 3

Simplemente porque eso ‘rompería’ otras propiedades agradables de la función de raíz cuadrada que nos gustaría tener.

Por ejemplo, si x era la raíz cuadrada de -2, le gustaría que fuera -2 cuando esté al cuadrado. Tu sugerencia no tiene esta propiedad.

La raíz cuadrada de un número debe ser un número que, al cuadrar, le dé ese número.

Answer 4

El error se comete al convertir sqrt (-2) en sqrt (2). Si bien esto es cierto para el cuadrado, no es cierto para la raíz cuadrada.

Sin embargo, la igualdad de los lados segundo y tercero es verdadera.

Uno tiene sqrt (-2) = sqrt (2) .sqrt (-1) = i sqrt (2). Esto se dirige hacia arriba en el diagrama argand, en lugar de a la izquierda.

Answer 5

“¿Por qué no es sqrt (-2) = – sqrt (| – 2 |) = – sqrt (2)?”

El primer paso sqrt (-2) = -sqrt (2) es incorrecto: el término de la izquierda es imaginario y el término de la derecha es real.

De hecho, puede encontrar algunas falacias semi interesantes con raíces cuadradas, por ejemplo, sqrt (2) = sqrt (-2 x -1) = sqrt (-2) x sqrt (-1) = ix sqrt (2) xix sqrt (1) = -sqrt (2) (donde i es sqrt (-1).

Sin embargo, su fórmula es obviamente incorrecta.

Gracias por pedir responder.

Answer 6

Por la misma razón que 2 no siempre es igual a t + w + o. No se puede inventar reglas y esperar que sean ciertas, aunque muchos estudiantes de secundaria hacen exactamente eso.