Matemáticas y Filosofía
La filosofía de las matemáticas puede parecer a primera vista un matrimonio poco probable. La filosofía a veces se ve como el reparador de las ciencias y las matemáticas, lo que obviamente parece que no necesita ser arreglado. Las matemáticas gozan de la reputación única de ser el apogeo de la claridad y la certeza. ¿Qué tiene la filosofía para enseñarlo? [1]
Como la Filosofía del Derecho no legisla, o la filosofía de la ciencia elabora o prueba hipótesis científicas, así, debemos darnos cuenta desde el principio: la filosofía de las matemáticas no se suma al número de teoremas y teorías matemáticos. No son las matemáticas. Es una reflexión sobre las matemáticas, dando lugar a sus propias preguntas y respuestas particulares. Sin embargo, a pesar de la distinción, la conexión entre los dos temas puede ser bastante estrecha. Uno no puede reflexionar fructíferamente sobre un tema si no tiene ningún conocimiento de él; y la reflexión sobre lo que uno está haciendo puede ser claramente provechosa al hacer que el hacer sea más eficiente. [2]
Los vínculos entre la filosofía y las matemáticas son antiguos y complejos. Las dos disciplinas son, en cierto sentido, paralelas: para ambos, los antiguos griegos fueron los primeros en introducir la sistemática, el rigor y la centralidad de la justificación en su práctica. De hecho, Platón inscribió en las puertas de la Academia que nadie debería entrar que no supiera matemáticas. Desde entonces, hay pocos filósofos importantes en la tradición occidental que no hayan trabajado intensamente para comprender el fenómeno de las matemáticas. [3]
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Si hoy enseñáramos filosofía de una manera que reflejara su historia, el currículo actual se vería abrumado con la filosofía de las matemáticas. Piense en estos grandes filósofos y en la importancia de las matemáticas para su pensamiento: Platón, Descartes, Leibniz, Kant, Frege, Russell, Wittgenstein, Quine, Putnam y muchos otros. Y el interés en la naturaleza de las matemáticas no se limita a la llamada corriente analítica de la filosofía; también ocupa un lugar preponderante en el trabajo de Husserl y Lonergin, las figuras centrales en, respectivamente, las tradiciones filosóficas continentales y tomistas. Cualquiera que esté sinceramente interesado en la filosofía debe estar interesado en la naturaleza de las matemáticas. [4]
Relación entre filosofía y matemática
A lo largo de su historia, las matemáticas y la filosofía se han influido mutuamente. El contraste aparente entre el flujo indefinido de impresiones sensoriales y las verdades precisas y atemporales de las matemáticas ha estado entre las primeras perplejidades y problemas no solo de la filosofía de las matemáticas, sino de la filosofía en general; mientras que los relatos filosóficos de las matemáticas en su relación con la ciencia empírica, por otro lado, han sugerido problemas matemáticos e incluso han conducido a nuevas ramas de las matemáticas como las geometrías no euclidianas y las álgebras abstractas de la lógica matemática. [5] Entre las preguntas filosófico-matemáticas que todos conocemos se encuentran algunas que surgen al reflexionar sobre las siguientes afirmaciones (las tres primeras que pertenecen a la matemática pura y las restantes a la matemática aplicada):
· 1 + 1 = 2;
· Cualquier triángulo (euclidiano) que es equiangular también es equilátero;
· Si un objeto pertenece a una clase de objeto, diga a, y si a está incluido en otra clase de objetos, diga b, entonces el objeto pertenece a b;
· Una manzana y una manzana hacen dos manzanas;
· Si los ángulos de una pieza de papel triangular son iguales, entonces sus lados son iguales;
· Si este animal pertenece a la clase de gatos y si esta clase está incluida en la clase de vertebrados, entonces este animal pertenece a la clase de vertebrados.
Teniendo en cuenta estas afirmaciones, uno naturalmente hará preguntas tales como: ¿Por qué es que parecen ser necesariamente, de manera evidente o indudablemente verdaderas? ¿Son verdaderas de esta manera peculiar porque están afirmadas sobre objetos de algún tipo especial, a saber, números, formas, clases; o porque están afirmados acerca de los objetos en general o los objetos como tales; ¿O son posiblemente verdaderas de esta manera especial debido a que no se les ha afirmado ningún objeto en absoluto? ¿Se debe su verdad al método particular por el que se alcanzan o son verificables, por ejemplo, un acto inmediato e incorregible de intuición o de comprensión? ¿Cuál es la relación entre cada una de las tres afirmaciones en matemáticas puras y la que se corresponde con las matemáticas aplicadas? [6]
Impacto de las matemáticas en la filosofía
Las matemáticas son interesantes para los filósofos en parte porque proyectan un modelo de verdades a priori lógicamente necesarias que muchos pensadores han supuesto que pueden conocerse con absoluta certeza. Descartes trató de revolucionar la filosofía y la ciencia en el siglo XVII al alejarse del autoritarismo aristotélico en asuntos seculares y las fundaciones racionalistas institucionales para el conocimiento que permitiría que las percepciones claras tuvieran el mismo estatus de certeza epistémica que las demostraciones matemáticas, justificadas por medio de las mismas cadenas inquebrantables de razonamiento enraizadas en verdades irrefutables, en última instancia, con la misma luz o naturaleza lógicamente irrevocables. [7]
Más recientemente, los filósofos han quedado impresionados no solo por la legitimidad epistémica sólida y ostensiblemente inquebrantable de las pruebas y teoremas matemáticos, sino también por las iniciativas que desafían los axiomas matemáticos clásicos en el curso del desarrollo de sistemas matemáticos no estándar. La filosofía de las matemáticas está últimamente preocupada por los problemas conceptuales, entre muchos otros, la relación entre las matemáticas puras y las aplicadas, la ontología de las entidades matemáticas a la luz de los nuevos descubrimientos en la teoría de conjuntos y el significado y potencial de las máquinas de computación. Como en otras disciplinas a las que la filosofía dirige su atención, en ciencia, arte, historia y religión, la filosofía de las matemáticas ha sido fortalecida por las innovaciones en el campo, muchas de las cuales plantean preguntas nuevas y no anticipadas para el estudio filosófico. [8]
A pesar de los nuevos desarrollos, por impresionantes que sean, a menudo son los problemas menos sofisticados de la filosofía de las matemáticas, los que abordan algunas de las preguntas más elementales sobre las entidades matemáticas y la naturaleza y las implicaciones del razonamiento matemático que podrían plantearse incluso en la época de Sócrates. , que siguen reclamando la atención de los filósofos. Es como si no pudieran satisfacerse a sí mismos que hayan comprendido incluso las características más básicas de las matemáticas, sin importar cuán cuidadosamente hayan analizado sus métodos. Se inspiran para redescubrir en las matemáticas un suministro aparentemente inagotable de acertijos y paradojas filosóficas, cuya solución podría ser la clave para explicar mucho más sobre la metafísica y la mente en la práctica de las matemáticas. [9]
Influencia de la filosofía en las matemáticas.
No se puede suponer que la interacción entre filosofía y matemáticas ha sido unidireccional, con las matemáticas solo influyendo en la filosofía, y nunca al revés. Los argumentos filosóficos han tenido un impacto significativo en el avance de las matemáticas a lo largo de su historia, especialmente en los últimos tiempos. La influencia de la filosofía en las matemáticas se puede ver en la proliferación de lógicas no clásicas diseñadas en respuesta a los escrúpulos filosóficos sobre el significado de los sistemas clásicos, o como resultado de necesidades específicas para extender la lógica más allá de sus limitaciones expresivas. [10]
¿Cuándo, entonces, si es que lo hace, la filosofía ha hecho una diferencia directa en la práctica de las matemáticas en lugar de en la lógica simbólica o incluso en lo que a veces se llama lógica matemática? Un ejemplo conspicuo se encuentra en el movimiento intuicionista. Las matemáticas intuicionistas intentan acomodar formalmente ideas filosóficas específicas sobre la naturaleza de la verdad matemática y las condiciones en que los matemáticos y filósofos pueden hablar hipotéticamente incluso sobre el valor de verdad de una proposición matemática. Tenemos derecho a hacerlo, de acuerdo con el intuicionismo, solo cuando una prueba rigurosa o una refutación de la proposición realmente se ha construido dentro de un sistema matemático sólido. Los conceptos filosóficos que subyacen a las matemáticas intuicionistas no son simplemente cuestiones de interpretación, sino que afectan el alcance y el contenido de la lógica y las matemáticas, así como en su ontología y epistemología. [11]
[1] George, Alexander y Velleman, Daniel, Philosophy of Mathematics, vi.
[2] Korner, Stephen, The Philosophy of Mathematics, 9.
[3] George, Alexander y Velleman, Daniel, Filosofías de las Matemáticas, 1.
[4] Brown, James Robert, Filosofía de las Matemáticas, xii.
[5] Korner, Stephen, The Philosophy of Mathematics, 9.
[6] Korner, Stephen, The Philosophy of Mathematics, 9.
[7] Jacquette, Dale, Matemáticas y Filosofía de las Matemáticas, 5.
[8] Jacquette, Dale, Matemáticas y Filosofía de las Matemáticas, 5.
[9] Jacquette, Dale, Matemáticas y Filosofía de las Matemáticas, 5.
[10] Jacquette, Dale, Matemáticas y Filosofía de las Matemáticas, 6.
[11] Jacquette, Dale, Matemáticas y Filosofía de las Matemáticas, 7.