Si bien la prueba por contradicción es completamente sintáctica y semánticamente válida (es decir, cuando se usa la semántica y la sintaxis estándar), hay un sentido en el que una prueba por contradicción es “menos satisfactoria emocionalmente” que otros tipos de pruebas.
En este sentido, la prueba más satisfactoria emocionalmente es la que realmente construye lo que está intentando construir, o muestra (de una manera “intuitiva”) por qué las propiedades en la hipótesis están conectadas a las propiedades en la conclusión. En contraste, una prueba por contradicción construye un objeto nocional y luego lo lava en un torrente de lógica … pero a veces, al final, ya no estás más iluminado sobre el comportamiento de esos objetos que son reales que cuando empezaste.
El mismo efecto psicológico, por cierto, es la raíz de la renuencia de algunas personas a tolerar el Axioma de elección. Para ellos, una “construcción” debería ser realmente una construcción , un plan. AC permite que las cosas se construyan sin tener idea de cómo conectar las hipótesis con el producto final (y, a menudo, permite una variabilidad infinita de los detalles del producto final). Es como la escena en Contacto donde las instrucciones extraterrestres son construir un tanque gigante y llenarlo con cierta mezcla de productos químicos, y luego esperar y drenar el tanque, y de alguna manera, un objeto sólido con túbulos y otra estructura está ahí una vez que drenan el tanque. tanque. Y lo hacen de nuevo, y obtienen lo mismo, pero no tienen idea de lo que sucede debajo del capó para que esto suceda.
Tiendo a tener una opinión diferente: para mí, una prueba debe basarse en la menor cantidad de principios posible, pero no menos de lo necesario; pero como la lógica del mundo real parece satisfacer a LEM, no hay peligro en usarlo. Tal vez se deba tener en cuenta la dependencia, de modo que al pasar a las configuraciones donde el LEM no es válido, como algunas formas de lógica difusa, no introducimos suposiciones falsas. AC es un poco diferente: para mí, cuando demuestras que “la existencia de una X es equivalente al Axioma de elección”, es realmente una forma de prueba de imposibilidad, en el sentido de que no hay ninguna esperanza de construir una X de forma totalmente algorítmica . (Y eso está bien; hay una diferencia entre “existe” y “Puedo construirlo”.)
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