Matemáticas: ¿Por qué algunas personas sienten que la prueba por la contradicción no es una forma legítima de prueba?

Si bien la prueba por contradicción es completamente sintáctica y semánticamente válida (es decir, cuando se usa la semántica y la sintaxis estándar), hay un sentido en el que una prueba por contradicción es “menos satisfactoria emocionalmente” que otros tipos de pruebas.

En este sentido, la prueba más satisfactoria emocionalmente es la que realmente construye lo que está intentando construir, o muestra (de una manera “intuitiva”) por qué las propiedades en la hipótesis están conectadas a las propiedades en la conclusión. En contraste, una prueba por contradicción construye un objeto nocional y luego lo lava en un torrente de lógica … pero a veces, al final, ya no estás más iluminado sobre el comportamiento de esos objetos que son reales que cuando empezaste.

El mismo efecto psicológico, por cierto, es la raíz de la renuencia de algunas personas a tolerar el Axioma de elección. Para ellos, una “construcción” debería ser realmente una construcción , un plan. AC permite que las cosas se construyan sin tener idea de cómo conectar las hipótesis con el producto final (y, a menudo, permite una variabilidad infinita de los detalles del producto final). Es como la escena en Contacto donde las instrucciones extraterrestres son construir un tanque gigante y llenarlo con cierta mezcla de productos químicos, y luego esperar y drenar el tanque, y de alguna manera, un objeto sólido con túbulos y otra estructura está ahí una vez que drenan el tanque. tanque. Y lo hacen de nuevo, y obtienen lo mismo, pero no tienen idea de lo que sucede debajo del capó para que esto suceda.

Tiendo a tener una opinión diferente: para mí, una prueba debe basarse en la menor cantidad de principios posible, pero no menos de lo necesario; pero como la lógica del mundo real parece satisfacer a LEM, no hay peligro en usarlo. Tal vez se deba tener en cuenta la dependencia, de modo que al pasar a las configuraciones donde el LEM no es válido, como algunas formas de lógica difusa, no introducimos suposiciones falsas. AC es un poco diferente: para mí, cuando demuestras que “la existencia de una X es equivalente al Axioma de elección”, es realmente una forma de prueba de imposibilidad, en el sentido de que no hay ninguna esperanza de construir una X de forma totalmente algorítmica . (Y eso está bien; hay una diferencia entre “existe” y “Puedo construirlo”.)

La prueba por contradicción no se considera una prueba menor. A mi una de las mas elegantes.
pruebas de que hay un número infinito de números primos.
Supongamos que hay un número finito de números primos
y llama a ese número N.
Luego multiplica todos los primos N juntos y
añadir uno a ese producto.
Esto no es divisible por ninguno de los
primos menos que él, por lo que es un primo nuevo,
por lo que el número de primos es al menos N + 1
Así que suponiendo que el número f primos es N
Implica que no es N. Contradicción.

Tenga en cuenta que esta es una prueba constructiva, incluso el pensamiento es prueba por contradicción.

Los únicos métodos “menos satisfactorios” de
Son pruebas las que son que no son constructivas.
A menudo se trata de una prueba.
Por contradicción, pero no es el constructivo.
Naturaleza de la prueba de que las personas encuentran objetivas.

En este momento de la historia, cualquiera que crea seriamente que no es alguien cuya opinión debe preocuparse, a menos que esté estudiando específicamente los fundamentos de las matemáticas.

Incluso si la persona estudia los fundamentos, eso típicamente significará que exploran las consecuencias de los sistemas de axiomas donde la prueba por contradicción no es válida, no significa que “crean” que la prueba por contradicción no es legítima.

Definitivamente, puede ser bueno tener pruebas constructivas de las cosas, y es definitivamente posible que pueda aprender más de tal prueba o obtener una mejor comprensión. Sin embargo, las pruebas por contradicción son consideradas completamente legítimas por todos los matemáticos.

No estoy seguro de alguien que rechace la prueba por la contradicción, con la excepción de quizás algunos filósofos. Reductio ad absurdum es casi universalmente aceptado. No estoy de acuerdo con la afirmación del usuario de Quora de que “cualquiera que crea seriamente que no es alguien cuya opinión debe preocuparse a menos que esté estudiando específicamente los fundamentos de las matemáticas”.

Se supone que ambos sistemas matemáticos y el universo físico son consistentes. Eso significa que algo no puede ser verdadero y falso al mismo tiempo. Si ese no es el caso, entonces la prueba por la contradicción en realidad se desmorona. Sin duda, sería problemático que el universo en su conjunto sea inconsistente, pero solo esperamos que lo sea. Incluso podemos funcionar bien suponiendo que no es completamente consistente. Mientras asumamos que lo suficiente es consistente para sobrevivir, estamos bien.

Además de la respuesta fundamental acerca de la ley del medio excluido, creo que una razón importante es el propósito (s) de las pruebas. Gila Hanna¹ sugirió que las mejores pruebas no solo demuestran que un teorema es verdadero; nos dan una idea de por qué un teorema es verdadero, sugiriendo a su vez nuevas direcciones e ideas sobre el tema.

Las pruebas por contradicción tienden a no tener esta cualidad extra. Es por eso que tienden a ser evitados donde se pueden dar pruebas constructivas en su lugar.

¹Hanna, G. (1989). Pruebas que prueban y Pruebas que explican. En: G. Vergnaud, J. Rogalski, y M. Artigue (Eds.), Actas del Grupo Internacional para la Psicología de la Educación Matemática , París, Vol. II, pp. 45-51.

[math] \ neg \ neg A \ rightarrow A [/ math] es equivalente a [math] A \ vee \ neg A [/ math], la ley del medio excluido. La lógica intuicionista no permite ninguno de estos, y al hacerlo captura la noción de probabilidad constructiva en lugar de la verdad.

Hubo algunas respuestas geniales sobre este tema aquí, así que puedes verificarlo. ¿Por qué la prueba por contradicción se considera una prueba débil en matemáticas?
No estoy seguro de si esto es lo mismo que usted quería preguntar, pero si es así, rediríjalo.

Porque sin una comprensión intuitiva de la lógica, es difícil aceptar completamente que al probar ~ (~ x), en realidad estás probando x. Se siente como que falta un paso, que has probado algo no relacionado.

Uno de los principales problemas con la prueba por contradicción es que es fácil comenzar asumiendo lo que realmente está tratando de demostrar, pero si el procedimiento es correcto, la prueba es aceptable, y si alguien siente que no es legítimo, el único recurso que pueden hacer es demostrarlo. lo que queda es tomar papel y lápiz y demostrar que tus cálculos son incorrectos de alguna manera, de lo contrario, tendrán que vivir con eso.

Porque la prueba por contradicción asume que las matemáticas son consistentes (consistencia). No tenemos una prueba para eso y algunas personas seguramente no se sienten así