¿Cuál es la importancia física del teorema de residuos en el análisis complejo?

Answer 1

¡Hay una interpretación física impresionante! Puede pensar en los polos como “fuentes de líneas vectoriales que apuntan hacia afuera”. El resto de esta respuesta explica esa declaración en detalle.

Considere una integral de una función compleja $ f $ $$ I = \ oint_C f (z) dz \,. $$ Sea $ f (z) = u (z) + iv (z) $ y $ dz = dx + idy PS Luego tenemos $$ I = \ oint_C f (z) dz = \ oint_C \ left [u dx – v dy \ right] + i \ left [u dy + v dx \ right] \,. $$ Eso es todavía un poco poco iluminador Sin embargo, considere un campo vectorial 2D definido como $$ \ vec {V} \ equiv u \ hat {x} – v \ hat {y} \,. $$ Luego podemos escribir $$ I = \ oint_C \ vec {V } \ cdot \ vec {T} + i \ vec {V} \ cdot \ vec {N} $$ donde en cada punto a lo largo de la curva de integración $ \ vec {T} $ es la tangente a la curva y $ \ vec { N} $ es la normal a la curva. $ ^ {[A]} $

Usando el teorema de Stokes y el teorema de la divergencia, podemos reescribir la integral sobre la curva $ C $ como una integral sobre la superficie $ S $ entre $ C $: $$ I = \ int_S \ text {curl} (\ vec {V }) + i \, \ text {div} (\ vec {V}) $$ donde $ \ text {curl} $ y $ \ text {div} $ significan el rizo y la divergencia respectivamente.

Si $ f $ es diferenciable, satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann: \ begin {align} \ frac {\ partial u} {\ partial x} & = \ frac {\ partial v} {\ partial y} \\ \ frac { \ parcial u} {\ parcial y} & = – \ frac {\ parcial v} {\ parcial x} \,. \ end {align} Mirando nuestra definición de $ \ vec {V} $, las ecuaciones de Cauchy-Riemann dicen exactamente que la divergencia y la curvatura de $ \ vec {V} $ son cero. Por lo tanto, $ I = 0 $. Tenga en cuenta que esto demuestra que las integrales de $ f $ son rutas independientes.

Ahora, ¿qué sucede si permitimos que $ f $ tenga un solo punto donde no está definido? ¿Podemos encontrar un $ f $ que sea diferenciable en cualquier otro lado que no sea ese único punto, pero que no tenga cero rizo y divergencia? Considere $ f (z) = 1 / z $. Al escribir las partes reales e imaginarias, encontramos $$ u (x, y) = \ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} \ qquad v (x, y) = – \ frac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} $$ y $$ \ vec {V} = \ frac {x \ hat {x} + y \ hat {y}} {x ^ 2 + y ^ 2} \,. $$ Este Es un campo vectorial muy interesante:

• Se define en todos los puntos excepto $ (0,0) $.
• Tiene cero rizos y cero divergencias en todas partes donde se define.
• Se puede volver a expresar como $ \ hat {r} / | r | $, es decir, apunta radialmente hacia afuera desde el origen con una amplitud inversamente proporcional a la distancia desde el origen en el que se evalúa.

Aquí hay un diagrama

Si haces la integral $$ \ int_C \ vec {V} \ cdot \ vec {N} $$, encontrarás que la respuesta es $ 2 \ pi $ si $ C $ encierra el origen , de lo contrario es cero. Puede verificar esto haciéndolo explícitamente en la ruta paramerizada como $ x = R \ cos (t) $, $ y = R \ sin (t) $ para $ t \ en [0, 2 \ pi] $, es decir, a círculo de radio $ R $. $ ^ {[b]} $ Este es un resultado espectacularmente interesante. Normalmente, si un campo vectorial $ \ vec {V} $ tiene divergencia cero, el teorema de la divergencia garantiza que la integral de $ \ vec {V} \ cdot \ vec {N} $ sobre cualquier ruta posible sea cero. Nuestro ejemplo actual $ \ vec {V} $ (y, por lo tanto, la función $ f $) es especial porque tiene una singularidad , también conocida como polo , en el origen. Este campo vectorial muy especial es el único campo vectorial, definido en todas partes excepto el origen, que tiene divergencia cero pero $ \ oint_C \ vec {V} \ cdot \ vec {N} $. $ ^ {[C]} finito divergente

Así que, ¿qué hemos aprendido?

1. Las funciones complejas de valor se pueden considerar como campos vectoriales reales. Una integral de una función compleja sobre una curva puede descomponerse en una integral del campo vectorial real asociado sobre esa misma curva. Usando la divergencia y los teoremas de Stokes, estas integrales pueden escribirse como integrales de superficie del rizo y la divergencia del campo vectorial.
2. Las ecuaciones de Cachy-Riemann significan que estos campos vectoriales tienen cero curvatura y cero divergencia. En consecuencia, la integración de cualquier función que satisfaga las ecuaciones de Cauchy-Riemann en una ruta cerrada siempre es cero.
3. Si permitimos puntos singulares, hay una función especial, definida por $ f (z) = 1 / z $, cuyo campo vectorial es un conjunto de líneas que apuntan radialmente hacia afuera. Este campo tiene la escala de amplitud correcta: si integras su producto de punto con el vector que apunta hacia el exterior alrededor de una curva que encierra el origen, obtienes $ 2 \ pi $ independientemente de la forma / radio de esa curva. Esto sucede porque la amplitud se escala como $ 1 / r $, por lo que si aumenta la curva, el aumento en el perímetro se cancela exactamente por la disminución de la amplitud del vector.
4. Por lo tanto, si podemos descomponer una función en una parte que no tiene singularidades y luego una parte $ \ sum_j c_j / (z – z_j) $ que incluye singularidades, la integral de esa función en una curva que encierra esas singularidades es solo $ i 2 \ pi \ sum_j c_j $. ¡Esta es la fórmula de residuos derivada de campos vectoriales!

Referencias / comentarios

• Toda esta idea se llama “campos vectoriales de Polya”.
• Puede pensar en un polo complejo desde $ 1 / z $ como una función delta en la divergencia del campo vectorial asociado.
• Existe una relación muy interesante entre esta materia, los campos vectoriales conservadores y la noción de formas diferenciales cerradas y exactas. Vea este otro post de SE, y busque “De Rham groups”.

$ [a] $: para ver que $ \ vec {N} $ es lo normal a la ruta, tenga en cuenta que $ \ vec {T} \ cdot \ vec {N} = 0 $.

$ [b] $: Puedes convencerte de que la integral es una ruta independiente porque la curva de $ \ vec {V} $ es cero.

$ [c] $: Es exclusivo hasta la adición de otros campos vectoriales con divergencia cero que no tienen singularidades.

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Answer 2

Tal vez no sea una respuesta completa, pero es mejor que lo que está aquí ahora:

En la teoría del campo cuántico, las amplitudes de transición se calculan utilizando integrales sobre el momento de la partícula. La cantidad que se está integrando se denomina Propagador y, para las partículas masivas, generalmente tiene un denominador [math] \ sim \ frac {1} {p ^ 2-m ^ 2} [/ math].

Cuando se integra sobre el impulso, tendrá polos en las masas de las partículas, por lo que su amplitud de transición será proporcional, más o menos, al producto de los residuos de los propagadores.

Pero si piensa que la integración es la suma de todos los valores posibles de una función, entonces puede preguntar cuáles son los demás valores posibles del propagador para los momentos que están lejos de los polos. De hecho, estos momentos son los que no satisfacen la relación entre la energía, el momento y la masa de la relatividad especial. La jerga para esto es En la cáscara y fuera de la cáscara.

Para conectar con el teorema de residuos, la idea es que, sin embargo, si realiza la integración en el espacio complejo del momento, solo las masas de partículas físicas (en la capa) aparecen en la amplitud de transición. Pero todos los momentos posibles e imaginarios también contribuyen porque tiene un contorno para integrar y tiene que cerrarlo.

Una pregunta relacionada es por qué el número complejo i aparece en las ecuaciones físicas para las amplitudes de transición mecánica cuántica. Todavía tengo que encontrar una explicación realmente satisfactoria (y no tengo intención de proporcionarla), pero creo que tiene algo que ver con los hechos de que las funciones de onda interfieren entre sí y que las ecuaciones de Schrodinger / Dirac son de primer orden. en ecuaciones de onda de tiempo.