¿Por qué tenemos el concepto de infinito?

Answer 1

El concepto de infinito realmente se volvió útil con el estudio del análisis (cálculo).

Cuando Newton y Leibnitz descubrieron de forma independiente el cálculo a fines de 1600, no existía un concepto bien desarrollado del continuo de la recta numérica.

Aunque los griegos eran conscientes de los números irracionales, y el álgebra se desarrolló alrededor del año 800 EC, lo que finalmente llevó al concepto de números no algebraicos o trascendentales y luego números imaginarios, y así sucesivamente, nadie había formalizado, ni probado rigurosamente, la idea de que existían. una cantidad infinitamente grande de estos números en una línea numérica densa, es decir, una línea sin absolutamente ningún espacio entre los números, donde los números se empaquetan ‘infinitamente’ cerca uno del otro – y donde los dígitos en la expansión decimal de cualquiera de estos números siguen para siempre.

¿Porque es esto importante?

Porque el cálculo se basa en el concepto de lo infinitesimal. Para que funcione, necesita tener un concepto de una cantidad arbitrariamente pequeña, de hecho infinitamente pequeña, ¡PERO NO CERO!

Si divides un número por infinito, no obtienes cero. Obtienes algo tan cerca de cero que, para todos los efectos, es indistinguible de cero, pero no es IDENTICAMENTE igual a cero.

Esta parte es crítica. No puede dividir por cero, pero puede dividir por una cantidad, no importa lo pequeña que sea.

Toda la maquinaria de diferenciación se basa en el concepto de una recta numérica uniforme, continua e infinitamente densa.

Así que a medida que los matemáticos desarrollaron completamente el cálculo de Newton y Leibnitz para ponerlo sobre una base teórica sólida, desarrollaron toda la idea de la línea numérica, utilizando herramientas como series infinitas, teoría de conjuntos (cortes Dedekind), etc.

El cálculo simplemente no funciona sin infinito.

Por cierto, parece que no existe el infinito en el mundo físico.

El universo, tan inmenso como es, todavía se presume que es finito, no importa cómo elija medirlo; distancia, volumen, número de partículas elementales, masa total, energía total, lo que sea; Inconcebiblemente enorme, pero no infinito.

El concepto de infinito es puramente teórico, y es absolutamente necesario para los fundamentos de las matemáticas modernas.

Answer 2

Elige tu opción:

• No hay mayor número;
• Representar algo que nunca termina ;
• Cada conjunto debe tener una cardinalidad (o “tamaño”);
• No podemos olvidar lo que alguien pensó y nombró hace mucho tiempo;
• ¿Por qué no deberíamos tener tal concepto ?;
• Por la misma razón tenemos el concepto ” concepto “;
• Por la misma razón tenemos cualquier concepto;

y así sucesivamente y … hasta el infinito !

Gracias por la A2A.

Answer 3

En realidad tenemos dos conceptos de infinito. Una es solo una herramienta útil, pero la otra es necesaria para evitar contradicciones que invalidarían casi cualquier otro concepto en Matemáticas.

Digamos que quieres pedalear tu bicicleta a la casa de tu amigo. Pero eres gong para describir el viaje como una secuencia de piernas. La etapa 1 comienza en tu casa y termina cuando estás a la mitad del camino hacia la de tu amigo. La Pierna 2 comienza después de la Pierna 1, y termina cuando estás a 3/4 del camino. Cada tramo posterior cubrirá la mitad de la distancia restante.

Si intenta enumerar cada tramo en este conjunto, nunca llegará al final de la lista. Porque no hay fin. Este es el concepto llamado “infinito potencial”. Es el objetivo que nunca se puede alcanzar o cruzar. Lo usamos en límites: si permitimos que S (n) sea la distancia que ha pedaleado después de completar la Pierna n, entonces S (n) = 1/2 + 1/4 +… + 2 ^ (- n). No podemos agregar físicamente el “último” número en S (infinito), por lo que decimos que el límite de S (n), cuando n se acerca al infinito potencial, es 1. (Fue incorrecto escribir S (infinito), porque el infinito no es un número, pero son expresiones mal consideradas como esa, que hacen que la gente piense que es.)

Si nunca puede pedalear la “última” pierna, ¿puede llegar a la casa de su amigo? Es un hecho matemático que puedes, pero eso parece producir una contradicción.

Para evitar la contradicción, necesitamos un concepto que nos permita decir que hemos pedaleado “todas” las piernas, sin pedalear el “último”. Es decir, que se puede completar un conjunto aunque no podamos identificar el elemento que Cumplido el cumplimiento. Esto se denomina “infinito real” o “infinito completado”. La suma de todas las distancias que pedaleaste en el conjunto de patas que describí es 1. Con el infinito completado, no solo se acerca a 1, es 1.

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No recuerdo la cita exacta, pero Aristóteles dijo una vez algo como “el infinito no es el punto que está más allá de todo, es la propiedad de que siempre hay algo más allá de cada punto”. Es decir, infinito potencial vs. infinito completado .

Answer 4

No creo que necesitemos el concepto de infinito de la misma manera que el concepto de 1 o 0 o números racionales. Los modelos físicos del mundo son bastante finitos en todos los sentidos, en lo que a mí respecta. Solo utilizamos herramientas matemáticas que se basan en el concepto de infinito. No me malinterpretes, esas herramientas son geniales, pero tal vez podrían haber sido diferentes.

Qué sucederá si sigues contando, morirás mientras cuentas, nada especial, no infinito. Cuántos números naturales hay, infinitos. Pero esa es la respuesta a la pregunta matemática y no tiene nada que ver con el mundo físico. No hay dudas sobre el mundo físico con una respuesta “infinita” o “infinita”, nuevamente, de nuevo en lo que a mí respecta. ¿Cuántas personas en la Tierra, moléculas en el vaso de agua, posibles permutaciones de todos los quarks en el universo observable? Todos tienen un número natural como respuesta.

Todo esto fue solo mi opinión, la mayoría probablemente estaría en desacuerdo. Pero todos estaríamos de acuerdo en que necesitamos el concepto de infinito para comunicarnos con el único lenguaje lo suficientemente bueno como para expresar opiniones y hechos sobre cuestiones complicadas relacionadas con el mundo físico.

Answer 5

Asumir que no hay un número mayor realmente simplifica incluso la aritmética básica. Incluso puede ser imposible desarrollar una teoría de la aritmética rigurosa y viable si asumiera lo contrario. Que yo sepa, nadie ha podido hacerlo.

Después de haber incursionado brevemente en este problema, pude desarrollar el equivalente de los axiomas de Peano (incluida la inducción) para un conjunto finito de números y construir una función de suma única utilizando productos cartesianos, conjuntos de potencia y subconjuntos. Sin embargo, me empantané rápidamente, tratando de probar incluso las propiedades algebraicas más simples de adición, por ejemplo, asociatividad y conmutatividad. Es relativamente fácil con el conjunto infinito usual de números naturales.

Answer 6

Para responder a esta pregunta, debe tener algún marco dentro del cual definir conceptos. ¿Qué califica como concepto, de todos modos?

¿Y qué quieres decir con “más alto”? Si te refieres a abarcar la mayoría de las cosas, entonces el concepto de todo es obviamente el más alto. ¿O te refieres a lo más difícil de lograr? ¿La más moralmente buena? ¿Lo que más te hace pensar? ¿Lo más útil?

En resumen, esta pregunta está demasiado mal definida para evocar una respuesta significativa.

Edit: Mi respuesta ya no tiene sentido porque OP cambió completamente la pregunta.

Answer 7

En primer lugar, permítame decirle que el Infinito no es ningún número. Es solo la etapa en la que la tendencia humana a contar los números se deteriora y lo llamamos infinito.
Para comprender el concepto de infinito, debe saber de dónde se originaron los números.
Hace mucho tiempo, cuando los humanos necesitan un marco de conteo, es decir, la base del conteo, en este momento los números se originaron oficialmente.
Me gusta 1 2 3 4
Así que ahora la gente podría contar qué cantidad de cosas tienen consigo mismas.
Luego, el procedimiento de conteo aumentó día a día, es decir, el aumento en los números. Ahora pueden contar hasta unos 100
Las personas que comienzan a escribir números en papel y lo que se dan cuenta es que los números no tienen fin.
Entonces, dicen que hay números infinitos y el infinito es una etapa en la que no puedes llegar.
Es inalcanzable.

Answer 8

Infinito es la versión filosófica y matemática de “y así sucesivamente …”.

En matemáticas, nos permite generalizar cómo algo se comporta como una variable a medida que el tiempo continúa creciendo. Por ejemplo, podemos ver si, en algún momento en el futuro, un sistema se vuelve caótico o permanece ordenado, la idea de una serie convergente significa que el sistema tiene un número esencialmente finito de estados, etc.

Answer 9

Creo que esta pregunta es igual a “¿Por qué tenemos ciencia?”.

Los humanos tenemos “ciencia” y tenemos muchas “cosas de ciencia” y “infinito” es una de “cosas de ciencia”. Entonces, cuando el “infinito” entró en nuestra ciencia, ¡estamos ahí para enfrentarlo pero no para imaginarlo! Tenemos que entenderlo, conocerlo tanto cuantitativamente como cualitativamente, hacer un buen uso de él y realmente lo hemos hecho y tener análisis y teoría de conjuntos.

El problema real es que existen defectos fundamentales en nuestro actual sistema de ciencia relacionado con el infinito, que produce miles de familias de paradojas relacionadas con el infinito (síndrome infinito) de miles de años de antigüedad: es realmente difícil saber qué es el “infinito”.

Se necesita una revolución para construir un sistema científico de nuevas nociones de infinito para reemplazar el antiguo sistema no científico de infinito y disipar una nube negra tan enorme de “familias de paradojas relacionadas infinitas (síndrome infinito)” sobre el cielo del sistema de ciencia actual.

Answer 10

¿Por qué no lo haríamos? Es una respuesta natural a la pregunta “¿cuántos números enteros hay?”

Answer 11

Supongamos que tienes 12 chocolates para regalar a 4 niños. Puedes darle a cada niño 3.
Ahora piensa que tienes que distribuir 12 chocolates entre cero niños.
Hay infinitas formas de hacer eso. Es por eso y donde tenemos concepto de infinito.
Creo que el infinito hace que muchos conceptos matemáticos sean simples.

Solo piensa ¿Qué pasará si no tenemos el concepto de “infinito”?

Answer 12

Pasar de 0 a 1 es un salto mucho mayor que de 1 a n . Finito allana el camino al infinito.

Answer 13

La emergencia se siente como un buen candidato

Answer 14

Para responder muchas preguntas como qué es 1/0 o crear los modelos probabilísticos necesarios, cuyas colas son eternas, pero cuya área bajo la curva es finita (por ejemplo, 1).

Answer 15

Para principiantes

¿alguna vez te has preguntado si seguimos contando dónde terminará?
y ese punto final a veces es necesario en nuestro cálculo.

Así que esa es una motivación para tener tal concepto.