Los cuantificadores son lo que hace que el sistema lógico sea generativo, lo que significa que puede generar nuevas oraciones que no son simplemente tautologías o deducciones elementales de modus-ponens hechas de oraciones anteriores. Son lo principal en lógica más allá de las tautologías. Aristóteles entendió las tautologías y los modus-ponens en la antigüedad.
Modus ponens te permite pasar de 1. Sócrates es un hombre 2. Ser hombre implica ser mortal, a: Sócrates es mortal
Pero el modus ponens va de dos afirmaciones a una, requiere una forma de generar oraciones para producir todas las verdades. Con los cuantificadores, obtienes rangos de afirmaciones, como “todos los hombres son mortales”, y luego puedes concluir de esta afirmación individual sobre cualquier hombre.
Además de las reglas obvias de la lógica, hay una regla especial para las variables libres. Estos pueden introducirse en algún momento, usted hace deducciones con respecto a ellos, y luego, si concluye de la deducción que se deduce alguna propiedad que involucra cuantificadores en otras variables, o lo que sea, llámela P (x), puede concluir ” para todo x P (x) “. La razón es simplemente que no hiciste suposiciones en x. Luego, puede negarlo y concluir que no existe una x tal que no P (x), y al generar su modelo, por cada x que encuentre, aprenderá P (x) (y no P (x) , y todas las demás deducciones tautológicas de P (x) y todas las otras cosas que sabes).
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Este factor de cuantificación es lo que produce las nuevas consecuencias que no tuvo al principio, o simples deducciones obvias de estas. La lógica sin el factor de cuantificación es la lógica estéril del filósofo anterior al siglo XX, no es un sistema que pueda producir nuevos resultados.
Se comprobó que la lógica de primer orden de Boole, Quine, Hilbert produjo todas las deducciones por parte de Godel en 1930. Este es el “teorema de integridad” de Godel, un importante antecesor del “teorema de incompletitud” de 1931. Completó la lógica, de modo que todos sabemos Las reglas de deducción son suficientes. Una vez que tenga una lógica, puede definir otras lógicas equivalentes, es lo mismo que definir una computadora. Una vez que has visto uno, los has visto todos.
Un excelente tratamiento conciso del teorema de completitud está contenido en dos páginas en el primer capítulo de “La teoría de conjuntos y la hipótesis del continuo” de Cohen. Hay un formalismo más elaborado que se debe a Gentzen llamado “cálculo secuencial”, que se usa para algunas pruebas formales, pero no conozco una buena fuente, ya que nunca lo aprendí correctamente. El algoritmo de deducción que usaría hoy en una computadora está más cerca del algoritmo de deducción de Hilbert, que es más intuitivo, no tan formal como el cálculo secuencial. Pero debido a que el cálculo secuencial es tan formal, hace que sea más fácil probar cosas sobre los sistemas axiomáticos, el más importante es la “eliminación de cortes” (lemmas en línea), que le permite probar la consistencia de los sistemas axiomáticos una vez que entiende una estructura ordinal computable lo suficientemente compleja. .