En términos comprensibles para el vocabulario del cálculo de nivel universitario, ¿de qué manera los conceptos abstractos / contraintuitivos en matemáticas han demostrado ser útiles en aplicaciones de la vida real?

Answer 1

Un par de conceptos / problemas contraintuitivos en matemáticas:

1) Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos teoremas de la lógica matemática que establecen limitaciones inherentes de todos, excepto los sistemas axiomáticos más triviales capaces de hacer aritmética. Básicamente, afirman que no hay forma de que las matemáticas o ningún sistema lógico demuestren todas las verdades, es decir, hay algunas cosas que pueden ser ciertas pero que las matemáticas no pueden demostrarlo. Esto causó un gran revuelo a principios del siglo 20 cuando las personas creían en la infalibilidad de las matemáticas. Se ha utilizado para hacer varios argumentos y pruebas en matemáticas y ciencias de la computación.

2) El problema de Monty Hall es un problema bastante famoso. Supongamos que estás en un programa de juegos y te dan la opción de tres puertas: detrás de una puerta hay un auto; Detrás de los demás, cabras. Eliges una puerta, dices No. 1, y el anfitrión, quien sabe qué hay detrás de las puertas, abre otra puerta, dice No. 3, que tiene una cabra. Luego te dice: “¿Quieres elegir la puerta número 2?” ¿Te conviene cambiar tu elección? Contraintuitivamente, sí lo es. Aplicación práctica: la próxima vez que estés en un programa de juegos, ¡recuerda esto!

3) Axioma de elección : Indica que ” el producto de una colección de conjuntos no vacíos no está vacío “. Se ha utilizado para probar muchos teoremas contraintuitivos (consulte la paradoja de Banach-Tarski a continuación).

Estas no tienen muchas aplicaciones de la vida real, pero serían impresionantes si lo tuvieran:

3) La paradoja de Banach-Tarski : En algunas condiciones, indica que puede descomponer una esfera tridimensional en piezas finitas, no superpuestas y luego volver a ensamblarla en dos copias idénticas de la esfera original . Ahora, desearías que eso fuera cierto en el mundo real.

4) Copo de nieve de Koch : después de infinitas iteraciones, este fractal tiene un perímetro infinito, pero un área finita.

Answer 2

Debido a que el postulado paralelo parece tan verdadero, la idea de cuestionarlo no se le ocurrió a nadie durante aproximadamente 2000 años.

Pero una vez que tuvo lugar el cuestionamiento, condujo al desarrollo de generalizaciones de la geometría (por ejemplo, no euclidiana, riemanniana), que a su vez hizo posible modelos más precisos del espacio físico.

Una aplicación notable son las correcciones relativistas en el GPS.

Answer 3

Los números imaginarios son bastante contraintuitivos. Nos permiten representar distribuciones de probabilidad mecánica cuántica, que también son bastante contraintuitivas. Pero estas herramientas nos permiten entender, calcular y predecir las propiedades de los semiconductores. Y el comportamiento de semiconductores es lo que permite a todos los microelectrónicos modernos, computadoras, teléfonos celulares, … Son aplicaciones bastante reales.

Answer 4

La ley de los números grandes se aplica a muchos escenarios del mundo real. Se puede afirmar de muchas maneras y tiene muchos correlatos; la definición de wikipedia es

De acuerdo con la ley, el promedio de los resultados obtenidos de un gran número de ensayos debe estar cerca del valor esperado y tenderá a acercarse a medida que se realicen más ensayos.

La ley también implica que si un evento tiene una probabilidad baja pero limitada sobre un umbral decreciente, se garantiza que el evento ocurra.

Es sorprendente lo útil que es poder generalizar estos dos conceptos en muchas situaciones.