Cuando se aplica un campo eléctrico [math] \ mathbf {E} [/ math] a un dieléctrico, se induce una densidad de polarización [math] \ mathbf {P} [/ math] en ese dieléctrico. En el caso más simple, la polarización siempre ocurre en la misma dirección que el campo eléctrico. Tomemos una muestra de argón líquido, por ejemplo. El campo eléctrico no afectará mucho el movimiento de los átomos de argón a menos que sea extremadamente fuerte, pero la nube de electrones de cada átomo se verá perturbada de modo que es más probable que se encuentren electrones en el lado del átomo donde se encuentra el potencial eléctrico debido al el campo externo es más alto; el resultado es un dipolo inducido, y el promedio da una densidad de polarización en el líquido a granel. Aumente la intensidad del campo eléctrico, y la separación aumenta en magnitud y, en consecuencia, también lo hace la densidad de polarización.
Desafortunadamente, no todas las sustancias son tan simples como este ejemplo. En primer lugar, los dieléctricos no son necesariamente isotrópicos, y la magnitud de la polarización inducida puede variar según la dirección del campo eléctrico. Griffiths da dióxido de carbono como ejemplo; uno puede ver que en el dióxido de carbono cristalino, la respuesta a un campo eléctrico será diferente si se aplica a lo largo de los ejes de las moléculas de dióxido de carbono en el cristal, en comparación con el eje perpendicular a los ejes. En segundo lugar, la polarización inducida podría no estar en la misma dirección que el campo aplicado.
El tensor de polarizabilidad representa la linealización de la respuesta de un dieléctrico a un campo eléctrico, para pequeñas intensidades de campo, y por lo tanto proporciona una aproximación de primer orden a dicha respuesta. Considerando la densidad de polarización inducida [math] \ mathbf {P} [/ math] en función del campo eléctrico [math] \ mathbf {E} [/ math], el tensor de polarizabilidad [math] \ chi_ {ij} [/ math] se define como el derivado de Frechet de [math] \ mathbf {P} [/ math] con respecto a [math] \ mathbf {E} [/ math] en [math] \ mathbf {E} = \ mathbf {0 } [/ math], es decir, [math] \ chi_ {ij} = \ partial P_i / \ partial E_j | _ {\ mathbf {E} = \ mathbf {0}} [/ math]. Para [math] \ mathbf {E} [/ math] suficientemente pequeño, podemos expandir [math] \ mathbf {P} [/ math] como una serie de Taylor: [math] \ mathbf {P} = \ mathbf {P} (\ mathbf {E} = \ mathbf {0}) + \ chi \ mathbf {E} + O (\ | \ mathbf {E} \ | ^ 2) [/ math] donde los términos de orden superior son pequeños. Y asumimos [math] \ mathbf {P} = \ mathbf {0} [/ math] cuando [math] \ mathbf {E} = \ mathbf {0} [/ math] (sin campo -> sin polarización), por lo que nos quedamos con:
[math] P_i = \ chi_ {ij} E_j [/ math]
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donde los índices repetidos denotan la suma (notación de Einstein), o, explícitamente, [math] P_x = \ chi_ {xx} E_x + \ chi_ {xy} E_y + \ chi_ {xz} E_z [/ math], y así sucesivamente para [ math] P_y [/ math] y [math] P_z [/ math]. En el caso especial de un dieléctrico lineal isotrópico, [math] \ chi_ {ij} [/ math] toma la forma de un tensor diagonal [math] \ chi \, 1 [/ math] para un escalar [math] \ chi [ / math] simplemente se llama la susceptibilidad eléctrica . Si el dieléctrico es, además, homogéneo, el tensor de polarizabilidad será constante en todo el material.
Las aproximaciones de primer orden son omnipresentes en la física, y deberías aprender a verlas todas como realmente lo mismo. Realmente, el tensor de polarizabilidad no es diferente de la constante de la ley de Hooke de un resorte. En ese caso, está tomando la derivada de la fuerza de restauración con respecto al desplazamiento, para pequeños desplazamientos (es decir, cerca de [math] x = 0 [/ math]). En este caso, está tomando la derivada de la densidad de polarización inducida con respecto al campo eléctrico externo, y las cosas se complican un poco más porque se trata de vectores en lugar de escalares. Pero una vez que has visto un tensor emergente en este contexto, los has visto todos. Por ejemplo, podemos definir un tensor de polarizabilidad similar para la magnetización inducida [math] \ mathbf {M} [/ math] en función del campo magnético aplicado [math] \ mathbf {B} [/ math].