Cómo estar seguro de que mi prueba es correcta

Answer 1

Sí, una vez que una prueba se complica, los errores pueden aparecer. Los humanos generalmente no completan hasta el último detalle de una prueba. Pasan más tiempo en las partes difíciles, a menudo separando las partes duras como lemas separados para hacer más comprensible la prueba general del teorema.

No obstante, a menudo se hacen suposiciones implícitas. Las generaciones posteriores de matemáticos analizan las pruebas y completan los fundamentos de un tema. Aunque las pruebas de Euclid se ven bastante bien, hubo suposiciones que no se expresaron explícitamente. Aunque el cálculo de Newton y el cálculo de Leibniz se ven bastante bien, hubo suposiciones allí. El concepto mismo de función no se aclaró hasta el siglo XIX. No se creó una base para la teoría de los números hasta casi finales del siglo XIX. La lógica no se formalizó hasta finales del siglo XX.

Hilbert declaró sus 23 problemas de 1900 para completar un programa de mecanización de las matemáticas. Uno de sus objetivos era responder preguntas como la tuya: estar seguro de las afirmaciones matemáticas con pruebas finitas, cada paso de lo cual era seguro.

Con el software de verificación de teoremas, deberíamos poder hacerlo ahora. De hecho, hay varios sistemas de prueba, sistemas informáticos para verificar formalmente las matemáticas. Algunos de estos son asistentes de prueba.

Preguntas sobre el problema de la detención y los teoremas de incompletitud de Gödel. No afectan los teoremas para los cuales tenemos pruebas, y no son un impedimento para verificarlas.

Answer 2

Hoy en día, realmente lo único que se puede hacer es que muchos matemáticos vean la prueba y observen que no hay errores obvios. Por supuesto, los humanos cometen errores, por lo que este proceso no es 100% infalible, pero sí esperas que, con el tiempo, todos los errores se detecten.

Pero creo que podemos hacerlo mejor. No creo que la verificación de teoremas basada en computadora sea una meta imposible o incluso particularmente remota. Ya lo hemos visto hecho en una medida muy limitada (con el teorema de los cuatro colores, en particular). Como lo entiendo (no soy un experto en el campo, me temo), el gran obstáculo es que los fundamentos de las matemáticas a la teoría de conjuntos no están muy bien establecidos desde el punto de vista de la informática.

Afortunadamente, hay personas que trabajan para solucionar esto; Véase, por ejemplo, el trabajo de Vladimir Voevodsky sobre la teoría del tipo de homotopía. El resultado final de este trabajo es que, quizás dentro de cien años, será impensable que un matemático envíe un documento antes de que una computadora lo revise primero.

… Seré el primero en admitir que esto realmente no te ayuda en el aquí y ahora, sin embargo.

Answer 3

Usted no puede Tratar de probar la corrección de una prueba matemáticamente sería obviamente circular. La única manera de tener una prueba confiable es tener suficientes matemáticos que la lean y observen que nadie observa un error. Esto todavía no elimina la posibilidad de que alguien en el futuro encuentre un error que nadie haya encontrado antes.
La exactitud de los teoremas matemáticos está en un nivel con la verdad de las afirmaciones físicas.

Answer 4

Las matemáticas son: si tuviera 2x $, podría dividirlo en 2 lotes de x $, pero no hace ninguna afirmación sobre si tienes 2x $.

Lo que suele ocurrir con las fallas es que dos cosas A, a tienen el mismo nombre, y al mostrar A, no se puede suponer que ‘A’ tiene el mismo nombre.

Una de las trampas divertidas aquí es ‘infinito’. Una es suponer que, dado que los diferentes números son de alguna manera ilimitados, deben cruzar cualquier gran número y, por lo tanto, “deben ser iguales”. Un buen truco es aquel en el que uno confunde ‘contable’ con cualquier conjunto que tenga nombres discretos, aunque la prueba diagonal del cantor nos dice exactamente lo contrario.

Del mismo modo, uno supone que un número tiene un número ilimitado de dígitos, y que a su vez no tiene límites, deben ser, sin más discusión, iguales. Me gusta, 80 = 10 ^ 80. Tocar el asunto exacto.

Una cosa divertida que tengo con los matemáticos es que ‘ilimitado’ = ‘infinito’, a pesar de que una esfera tiene una superficie ilimitada pero finita. ¡Debes entender exactamente lo que significan las palabras, y asegurarte de que estás usando el sentido correcto de la palabra, y de repente no hayas cambiado a un significado completamente diferente!

Answer 5

Resubstitude la respuesta de nuevo en la ecuación …