¿Cuál es la diferencia entre la metamatemática, los fundamentos de las matemáticas y la filosofía de las matemáticas?

Answer 1

Yo diría que la metamatemática es una disciplina rigurosa (tendente a la formal) de la misma manera que las matemáticas, y tiene como objeto de estudio afirmaciones matemáticas (en lugar de objetos matemáticos). Entonces, algo como el teorema de Abel-Ruffini podría considerarse un resultado metamatemático porque se relaciona con la existencia (o no) de una cierta forma de describir un número, en lugar de la existencia del número en sí.

Un ejemplo más claro es cualquier indecidibilidad o resultado de independencia.

La filosofía de las matemáticas, por otra parte, no es rigurosa en el sentido matemático (no hay filosofía, diría yo). Se ocupa de asuntos como el estado ontológico de los objetos matemáticos (incluso si existen) y lo que califica como una inferencia válida (contrariamente a la creencia común, las “leyes” de la lógica no son obvias ni indiscutibles).

En términos generales, en términos de personas:

Los matemáticos estudian objetos matemáticos.
Metamathematics estudia lo que dicen los matemáticos y cómo lo pueden decir.
La filosofía de las matemáticas estudia lo que los matemáticos piensan que están haciendo.

Answer 2

Las matemáticas generalmente se refieren al trabajo de emplear el conocimiento. La filosofía de las matemáticas es la lógica, específicamente la validez y la autoconsistencia de las operaciones y sus resultados. Los fundamentos de las matemáticas habían sido sinónimo de filosofía de las matemáticas. Más recientemente, se ha utilizado para referirse al análisis de conceptos básicos, su unidad, jerarquía y relación con el resto del conocimiento. Las fundaciones se volvieron más claras durante un tiempo problemático a principios del siglo XX, cuando los filósofos de las matemáticas se encontraron con problemas con la lógica matemática, y Godel demostró sus teoremas de incompletitud. Las cosas se calmaron y no volvimos a escuchar nada sobre las fundaciones hasta hace relativamente poco. Hay un sentido de urgencia en torno al desarrollo de fundamentos que ayudarán a hacer que las matemáticas sean más ampliamente aplicables y más funcionales en computación. Los matemáticos están teniendo problemas con el software diseñado para verificar las pruebas. Les gustaría mejorar ese proceso. El desarrollo de la teoría de la homotopía parece ser el catalizador de gran parte del fervor reciente. El Departamento de Defensa recientemente otorgó $ 7.5 millones a un equipo de filósofos e informáticos para trabajar en fundamentos, y parece que se centran en la homotopía.

Comunicado de prensa: Carnegie Mellon recibió una subvención del Departamento de Defensa de $ 7.5 millones para reformar las matemáticas-CMU News – Carnegie Mellon University

Answer 3

Mi sensación es que las meta-matemáticas tienden a ser formalmente rigurosas desde un punto de vista lógico, lo que significa que son filosóficamente rigurosas en lugar de matemáticamente rigurosas. Sin embargo, la filosofía actual tiene cierto parecido con las matemáticas, pero llamar a las dos (filosofía y matemáticas) lo mismo sería un error.

La filosofía de las matemáticas es similar (‘desde afuera’), excepto que su enfoque lógico tiene dos partes: (1) formalismo matemático, a veces desde la perspectiva de un forastero relativo, y (2) filosofía, como la metafísica. La meta-matemática es más sobre la lógica que sobre la filosofía. Por otro lado, en el uso suelto, los dos podrían usarse indistintamente, aunque es más difícil realizar copias de seguridad de las metamatemáticas y es probable que impliquen pruebas. La filosofía de las matemáticas no siempre requiere pruebas, pero a veces es especulación. La meta-matemática tiene una reputación de hacer afirmaciones epistemológicas radicales, mientras que la filosofía de las matemáticas está en todos los ámbitos.

Los fundamentos de las matemáticas, por otro lado, son más básicos desde el punto de vista de un filósofo, y pueden convertirse en matemáticas cuando se mantienen a sí mismos en un estándar. No es inherentemente filosófico, pero a veces puede relacionarse con herramientas filosóficas como argumentos numerados o pruebas escritas. Al igual que la filosofía de las matemáticas, es probable que se diluya en comparación con el formalismo genuino, pero es similar a las meta-matemáticas en que algún tipo de formalismo es un requisito. La filosofía de las matemáticas, por el contrario, podría tratar conceptos muy introductorios como permutaciones y conjuntos sin que ello implique su utilidad matemática. La meta-matemática trata con lo que un filósofo podría considerar conceptos avanzados en matemáticas, que se reduce a la lógica formal y las afirmaciones epistemológicas.

Answer 4

Desde el punto de vista de la informática teórica, la teoría del lenguaje formal y la lingüística matemática, no hay diferencias.

Por lo general, alguien que utiliza el término metamatemática no conoce la programación informática.

No creo en la metamatemática … son solo matemáticas.