¿Cómo se aplican las técnicas de matemáticas ‘puras’, especialmente el álgebra abstracta, el análisis y la topología, en la física?

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Las matemáticas son el estudio de los patrones. La ciencia es el estudio de los patrones en la naturaleza. Así que no es sorprendente que toda una serie de matemáticas sean aplicables a la ciencia.

Algunas de las cosas en las que pensamos en matemáticas no parecen en absoluto “aplicables” al principio.

Por ejemplo, cualquier persona con cierta aritmética básica sabe que los números negativos no tienen raíces cuadradas, porque cualquier cosa que sea multiplicada por sí misma es cero o positiva. Sin embargo, imaginemos que -1 tiene una raíz cuadrada ( i es un buen nombre) y vemos qué estructuras y patrones emergen de eso.

Resulta que, lo que emerge tiene una amplia gama de aplicaciones en ingeniería, electrónica, física y muchas otras áreas también.

Puede ir más lejos: suponga que -1 no tiene una sino dos raíces cuadradas diferentes (ninguna igual a más o menos la otra); llamémoslas i y j . Resulta que eso no es una cosa muy útil o útil, pero suponiendo que -1 tiene tres raíces cuadradas diferentes, i, j y k , conduce a una estructura interesante matemáticamente (llamada cuaterniones) que tiene una aplicación significativa (un tipo llamado Hamilton pasó Mucho tiempo pensando en estas cosas (el mismo tipo que le dio su nombre al Hamiltoniano, que tiene cierta importancia en física).

Una de las cosas que a los físicos les gusta pensar es la simetría. Esto es en parte porque es interesante en sí mismo, en parte porque puede simplificar un problema difícil mediante la explotación de simetrías a veces, y también por una cosa maravillosa llamada Teorema de Noether que establece una correspondencia entre las simetrías y las leyes de conservación.

Por ejemplo, si hago un experimento de física: suelto una bola, el tiempo que demora en golpear el suelo, obtengo la misma respuesta si miro hacia el norte, este, sur, oeste o cualquier otra dirección. Esa es una simetría (rotacional). También obtengo la misma respuesta si voy a la habitación de al lado y repito mi experimento (traducción). He omitido un tercero que también es bastante obvio: ¿puedes averiguar qué?

Noether nos da leyes de conservación de esas simetrías. Como se nos enseña en la escuela, la energía, el momento y el momento angular se conservan en sistemas cerrados. Y esas leyes de conservación permiten a los físicos resolver un montón de cosas. Las simetrías son de donde provienen esas leyes de conservación, y es el Teorema de Noether el que las lleva a ese punto.

Entonces, las simetrías son cosas físicamente interesantes y útiles para pensar. Afortunadamente, hay una herramienta lista para estudiar simetrías y cómo se combinan para hacer otras simetrías. Se llama teoría de grupos. De hecho, algunos manojos de simetrías, como las transformaciones de Lorentz (que son solo la colección de simetrías en el espacio-tiempo), forman un tipo especial de grupo llamado Grupo de Lie. Un Grupo de mentiras es un grupo que también se denomina variedad (piense en una variedad como algo que es “localmente euclidiano”; por ejemplo, una hormiga en un círculo también puede estar en un segmento de línea recta en lo que a ella respecta, no importa en qué lugar del círculo se sienta, un círculo es una variedad unidimensional porque cada punto tiene una vecindad que “parece” un segmento de línea, es decir, un espacio euclidiano unidimensional. La esfera es un colector bidimensional de analogía: sabemos que la Tierra es (muy aproximada) esférica porque hemos estado en el espacio, pero cuando empezamos, todo lo que vimos fue un montón de vecindarios, cada uno de los cuales “se ve” como un espacio plano bidimensional).

Puedes usar la teoría de grupos o la teoría de múltiples (así como un montón de otras cosas) para abordar preguntas sobre los grupos de mentiras. Puede usar el análisis para calcularlas (piense en la hormiga que rodea el círculo, en cualquier momento, ¿cuál es su velocidad? Respuesta, es una dirección tangente al punto en el círculo en el que se encuentra en cualquier instante) que le brinda en pensar en Lie Algebras.

Podría continuar, pero mi punto básico es que el álgebra, el análisis y la topología son solo formas diferentes de estudiar patrones, y cuando esos tipos de patrones emergen en la naturaleza, esas herramientas son excelentes maneras de construir modelos para estudiarlos.