Necesito agregar a la respuesta de John Nix, ya que la pregunta es cómo descubrieron los números atómicos en lugar de solo los pesos atómicos.
La primera clave fue que las reacciones químicas siempre ocurrían en proporciones de masa enteras (1 unidad de masa de hidrógeno a 8 unidades de masa de oxígeno, como se explicó, aunque durante mucho tiempo esa en particular las arrojó porque suponían que el agua debía ser HO) de H2O porque parecía mucho más simple, pero después de un tiempo finalmente lo hicieron bien). Se descubrió como consecuencia de tener reactivos sobrantes después de crear productos químicos.
La segunda clave fue la composición de carga del átomo. Después de varios experimentos con electricidad, se descubrió que la carga no era continua sino que debía ser partículas discretas que compusieran el átomo, que luego se llamaron el electrón y el protón, y el neutrón sin carga. Uno de los experimentos clave que llevaron a esta conclusión fue un espectrómetro de masas muy crudo: intente cargar átomos y luego dispararlos por un camino curvo con un campo magnético, revelando que solo se podrían lograr ciertas relaciones de masa a carga, específicamente enteros múltiplos de la masa molecular de la muestra.
Lo siguiente fue notar que si organiza los elementos en orden de masa atómica, sus propiedades son periódicas, es decir, las propiedades tales como la facilidad de corrosión, con qué reaccionarán para formar sustancias similares, etc. (de ahí el nombre, la tabla periódica.) Hubo algunos que parecían estar ligeramente fuera de orden (ya que hay algunos que, cuando están organizados por masa en lugar de la cantidad de protones están fuera de orden), por lo que no podría ser solo la masa que de alguna manera dio la elemento sus propiedades.
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El descubrimiento de los rayos X condujo a experimentos que podrían revelar el número de protones en un elemento, y cuando los elementos se organizaron en orden de número de protones, la naturaleza periódica de sus propiedades se hizo aún más evidente.