Para probar que una proposición es verdadera, ¿es necesario y suficiente mostrar que la proposición está libre de contradicciones en su contexto?

Answer 1

Es necesario, pero no suficiente; porque no se puede probar que [math] \ Lambda [/ math] así como [math] {\ Large \ neg} \ Lambda [/ math] sean verdaderos en ningún sistema axiomático formal lógicamente sano (al menos según los humanos) , como se puede demostrar que cualquier cosa es verdadera en un sistema que permite [math] \ Lambda [/ math] y [math] {\ Large \ neg} \ Lambda [/ math], y dicho sistema se considera inconsistente o está roto , y también necesitaría que el sistema axiomático sea independiente, es decir, su sistema axiomático no debería ser un teorema que pueda derivarse de otro sistema axiomático, y también debería estar completo, es decir, todas las afirmaciones o sus negaciones deberían derivarse de él. . Por lo tanto, esencialmente necesitas lo siguiente para probar que una proposición es verdadera:

1. El sistema axiomático no debe ser inconsistente o roto.
2. La proposición no debe contradecir el sistema axiomático de ninguna manera.
3. La proposición debe seguir directamente de las reglas del sistema axiomático.
4. El sistema axiomático debe ser independiente.
5. El sistema axiomático debe estar completo.

Si quieres ejemplos de tales sistemas axiomáticos y tales proposiciones, entonces búscalos en matemáticas, las matemáticas están llenas de sistemas axiomáticos y las proposiciones que siguen de ellos, como por ejemplo [math] 1 + 1 = 2 [/ math], sigue de Peano Aritmética, la resolución de la paradoja de Russell se sigue de los axiomas de ZFC, y la Geometría Euclidiana se sigue de los 5 postulados de Euclides.

Answer 2

Hay muchas preguntas y las consideraré pacíficas. También asumiré que “[math] A [/ math] está libre de contradicciones” significa [math] A \ not \ supset \ bot [/ math].

Pero primero, aceptamos la llamada verdad “normal”: si algo se prueba (en una teoría consistente), es verdad. Una descripción más detallada sobre la semántica para los idiomas clásicos de primer orden se puede encontrar aquí. Seguiremos aceptando la noción de una fórmula verdadera desde allí.

Ahora, aquí surge un problema: para cualquier teoría axiomatizada con más de un modelo no isomórfico (es decir, formas de interpretar constantes no lógicas) existen fórmulas no decisivas. Es decir, son ciertos en algunos modelos pero falsos en otros: entonces, no son universalmente ciertos. Sin embargo, una fórmula debe ser verdadera o falsa en un modelo dado.

Si entiendes el “contexto” como “modelo”, entonces la respuesta es sí (a menos que seas un imtuitionist). Si “contexto” es “teoría”, entonces no.

Si eres un intuicionista, entonces la respuesta es no en ambos casos: porque si [math] A [/ math] no implica contradicción, entonces [math] \ neg \ neg A [/ math] es verdadero. Pero no implica intuicionísticamente [math] A [/ math].

Finalmente, hay teorías paraconsistentes de manera que se puede derivar una contradicción en ciertas circunstancias, pero no implicará todas las propuestas posibles, como la tenemos en el intuicionismo o la lógica clásica.

Answer 3

Sí, para demostrar que una proposición es verdadera, es necesario y suficiente para demostrar que la proposición está libre de contradicciones en su contexto.

El problema aquí es la definición de ‘contexto’. Comúnmente, se asume que el contexto está definido por axiomas, pero los axiomas no son suficientes. Una proposición que sigue de los axiomas puede o no ser demostrable, dependiendo del modelo asumido. Eso significa que el modelo asumido puede ser una parte necesaria del contexto.

Si una proposición no es demostrable, dada una construcción axiomática particular, entonces hay al menos un modelo en el que esa proposición es falsa. Dado que las proposiciones falsas no son parte del contexto, claramente, el contexto depende del modelo asumido en este caso.

Pero, como un caso especial, si puede probar que una proposición es verdadera solo a partir de los axiomas, entonces esa proposición es verdadera, independientemente de cualquier modelo asumido. En este caso, una proposición es “verdadera” si es consistente con la construcción axiomática. Al expandir el contexto para incluir el modelo, la consistencia es nuevamente necesaria y suficiente.

Permito expresamente la posibilidad de que algún proceso distinto a una derivación convencional pueda establecer la verdad de una proposición; es decir, permito la posibilidad de que las habilidades mágicas y trascendentes de las que carezco y no entiendo puedan establecer la verdad. Además, me gusta expresar la verdad de las proposiciones en términos de la relación entre las proposiciones y su contexto, porque eso me permite revisar los sentidos en los cuales la prueba está excluida en el mundo natural.

Los diccionarios, en particular, tienden a no ser muy útiles para entender “verdad”, “verdad”, “probar”, o “probar” o “probar”. Por ejemplo, las definiciones estándar / convencional de ‘hecho’ comúnmente involucran una referencia circular degenerada a ‘verdadero’ (Definiciones de hecho – OneLook Dictionary Search Definiciones de verdad – OneLook Dictionary Search); es decir, los “hechos” son proposiciones que son verdaderas, y “verdad” son proposiciones que son objetivas.

Answer 4

Libre de contradicciones no es suficiente.

Consideremos, por ejemplo, la teoría de los grupos. Un grupo es un conjunto con una operación binaria, normalmente escrita como multiplicación, que es asociativa, tiene un elemento de identidad (generalmente denotado [math] 1 [/ math] de modo que [math] 1x = x1 = x [/ math] para todos [math] x [/ math]), e inverses (lo que significa que para cada [math] x [/ math], hay otro elemento, generalmente indicado como [math] x ^ {- 1} [/ math], de modo que [math ] xx ^ {- 1} = x ^ {- 1} x = 1 [/ math]).

No se puede probar para grupos que [math] x ^ 3 = 1 [/ math] para all [math] x [/ math], pero esa es una declaración consistente. No es contradictorio. Eso es porque para algunos grupos es cierto, pero para otros es falso.

La teoría de grupos no es una teoría completa, y para cualquier teoría de este tipo, no se pueden probar todas las afirmaciones que están libres de contradicción.

Answer 5

Yo respondo de esta manera. Si una llave encaja en un ojo de cerradura, ¿no es la función (x) la que abre la puerta? Por lo tanto, ¿qué función (no-x) abrirá la puerta? Por lo tanto, la contradición a la función es el elemento que hace que esa función sea verdadera, y ningún otro parámetro satisfará la proposición, excepto lo que no tiene ninguna contradicción con la función. Por lo tanto, las tolerancias de una clave desgastada físicamente, pueden ilustrar un ejemplo de contradicciones, en una proposición, que aún satisfarán la proposición.

Answer 6

A2A: Como dijo Aria Aurora, es necesario pero insuficiente. Una mentira puede estar libre de contradicciones.