¿Podría dar un ejemplo de ‘axioma’, de modo que estoy seguro de haber entendido este concepto?

Answer 1

A = A; totalmente abstracto (es decir, sin contenido semántico), expresado en lenguaje matemático / terminología / jerga puros, preferiblemente escrito en símbolos, donde “A” es todo lo que uno considera apropiado como una interpretación (donde la interpretación es simple de dar nombres) y nada se considera inapropiado, y “=” es cualquier “relación de equivalencia” sujeta a los mismos requisitos; La igualdad aritmética intuitiva es una interpretación perfectamente buena para el axioma, pero también lo es “módulo de igualdad”, donde 11 = 2 módulo 3 etc., o algunas relaciones trigonométricas, como en arcsin (o) = o o cualquier múltiplo de π . En cuanto a una “relación de equivalencia”, es cualquier relación aceptada como reflexiva, simétrica y transitiva, las tres a la vez.

Un sistema axiomático generalmente se considera correcto si es principalmente consistente y no redundante, y en segundo lugar “virtuoso”, es decir, tiene propiedades como la productividad teórica, la elegancia y la aplicabilidad general … La verdad es necesariamente aceptada, pero la verdad no es lo mismo que la realidad o hecho

Una frase como “el precio de equilibrio se determina en el punto de cruce de las curvas de oferta y demanda” no es un axioma, porque tiene un contenido y contexto semánticos específicos, es decir, tiene significado, como en las ciencias y en otras partes; ni es, por ejemplo, una guía moral como “todos los ciudadanos tienen derechos iguales” un axioma; en la mayoría de los casos, tales supuestos “axiomas” son de hecho principios, paradigmas, suposiciones, convenciones, hipótesis y conjeturas, ejemplos, supuestas “realidades” supuestamente evidentes, doctrinas, credos, etc.

Answer 2

Los axiomas son las verdades básicas que aceptas sin pruebas dentro de un sistema lógico. Son cosas que se asumen antes de desarrollar un sistema.

Por ejemplo, en la geometría euclidiana (el tipo de geometría que normalmente se enseña en la escuela secundaria). Estos son tomados como axiomas:

• Primer axioma : las cosas que son iguales a la misma cosa también son iguales entre sí.
• Segundo axioma : si se agregan iguales a iguales, el conjunto es igual.
• Tercer axioma : si es igual a restar de igual a igual, los restos son iguales.
• Cuarto axioma : las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
• Quinto axioma : El todo es mayor que la parte.

(citado de los axiomas y postulados de Euclides)

Si consideramos que lo anterior es cierto, podemos razonar sobre otras cosas, dado que estamos de acuerdo con estas reglas “obvias”.

Answer 3

Un axioma es un componente fundamental de cualquier proceso de pensamiento que se asume como verdadero para sostener la secuencia lógica que se utiliza para establecer algún tipo de resultado de verdad a partir del pensamiento o el cálculo.

En la ciencia, la idea de la evolución se ha convertido en axiomática de muchos argumentos lógicos en muchos campos. Está tan bien establecido por tantas líneas diferentes de investigación que puede utilizarse como un axioma.

Los axiomas del espacio y el tiempo en la ciencia se refinaron al axioma del espacio-tiempo y permitieron un pensamiento y un cálculo más precisos para las predicciones.

En la religión, la creencia en un creador sobrenatural se usa como un axioma para formar argumentos sobre por qué las cosas pueden estar bien o mal, o incluso verdaderas o falsas. Muchos argumentos engañosos se crean a partir de la idea axiomática de que la cognición divina de “dios” es posible. Este es un axioma secundario al de abajo de “dios”. Puedes construir lógica elaborada a partir de cualquier conjunto de axiomas arbitrarios que te guste, y justificar cualquier cosa que desees. Esta es la razón fundamental por la que necesitábamos que la ciencia se convirtiera en algo significativo con la tecnología, porque sus axiomas se construyen a partir de experimentos con la propia naturaleza, y toda la tecnología se basa en cómo funciona realmente la naturaleza, no solo en cualquier antigua inspiración divina.

Como puede ver, un axioma puede estar equivocado y llevar a conclusiones erróneas. Llegar a los axiomas correctos es lo que hace que el pensamiento sea poderoso en cualquier campo de la vida.

En general, es mejor no creer en nada, simplemente darse cuenta de los axiomas con los que está trabajando y ver los resultados que obtiene con esas suposiciones. Luego conserva los axiomas que tienen el valor más práctico y desecha los que fallan en la prueba.

Answer 4

Has hecho una pregunta interesante. Mi respuesta fue a Google “¿Qué es un ejemplo de un axioma?” Hojeé las diferentes respuestas y copiaré y pegaré la que más me gustó a continuación.

Ahora, la única pregunta que me queda es ¿por qué demonios no siguió exactamente el mismo proceso, en lugar de confiar en algún extraño en este foro para hacer el esfuerzo mínimo necesario para responder una pregunta que ocurrió solo en su mente? ?

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Un axioma es una afirmación matemática que se asume que es verdadera. Hay cinco axiomas básicos del álgebra. Los axiomas son el axioma reflexivo, el axioma simétrico, el axioma transitivo, el axioma aditivo y el axioma multiplicativo.

Axioma reflexivo: un número es igual a sí mismo. (por ejemplo, a = a). Este es el primer axioma de la igualdad. Sigue la Noción común 1 de Euclides: “Las cosas iguales a la misma cosa son iguales entre sí”.

Axioma simétrico: los números son simétricos alrededor del signo igual. Si a = b entonces b = a. Este es el segundo axioma de igualdad. Sigue la Noción Común 1 de Euclides: “Las cosas iguales a la misma cosa son iguales entre sí”.

Axioma transitivo: Si a = b y b = c entonces a = c. Este es el tercer axioma de la igualdad. Sigue la Noción común 1 de Euclides: “Las cosas iguales a la misma cosa son iguales entre sí”.

Axioma aditivo: Si a = b y c = d entonces a + c = b + d. Si dos cantidades son iguales y se agrega una cantidad igual a cada una, siguen siendo iguales.

Axioma multiplicativo: si a = b y c = d entonces ac = bd. Dado que la multiplicación es solo una suma repetida, el axioma multiplicativo se sigue del axioma aditivo.

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Answer 5

“Consideramos que estas verdades son evidentes, que todos los hombres son creados iguales, que están dotados por su Creador de ciertos derechos inalienables, que entre estos están la Vida, la Libertad y la búsqueda de la Felicidad”. – De la Declaración de Independencia de los Estados Unidos.

Answer 6

Euclides es un buen lugar para buscar ejemplos de axiomas. Él llama a estas cinco afirmaciones sus “postulados” (otra palabra para axiomas):

1. Se puede dibujar un segmento de línea recta uniendo dos puntos cualquiera.
2. Cualquier segmento de línea recta puede extenderse indefinidamente en línea recta.
3. Dado cualquier segmento de línea recta, se puede dibujar un círculo con el segmento como radio y un punto final como centro.
4. Todos los ángulos rectos son congruentes.
5. Si se dibujan dos líneas que se intersecan con una tercera de tal manera que la suma de los ángulos internos en un lado es menor que dos ángulos rectos, entonces las dos líneas inevitablemente deben intersecarse entre sí en ese lado si se extienden lo suficiente.

Da la casualidad de que 5. tiene una historia realmente fascinante que vale la pena analizar (busque el postulado paralelo).

En otros lugares también puedes encontrar numerosos ejemplos de axiomas. En la teoría de la probabilidad, existen sistemas de axiomas para la Probabilidad Bayesiana. Ver el artículo de Dupre y Tipler:

Nuevos axiomas para la rigurosa probabilidad bayesiana.

Verás en la sección 3 del documento las razones que dan para introducir los axiomas. Incluso si no entiendes lo que dice cada axioma, vale la pena echarle un vistazo, ya que te dará una idea del papel que los axiomas tienen en las matemáticas. Esencialmente, Dupre y Tipler intentan introducir inteligentemente suficientes axiomas para obtener el sistema que desean. Quieren que los axiomas sean lo suficientemente poderosos para probar ciertos teoremas (por ejemplo, el teorema de Cox) pero no tan poderosos como para ser contradictorios, o de dudoso uso o verdad. También motivan a los axiomas con respecto a qué otros beneficios pueden dar, por ejemplo, dicen:

El axioma final 5 solo es necesario para obtener una aditividad general del valor plausible y, en realidad, no es necesario para probar el teorema de Cox para la plausibilidad, pero parece natural querer tener aditividad general para el valor plausible.

La aditividad general para el valor plausible es una buena cosa, y pueden obtenerla con el axioma 5. Así que introducen el axioma 5. Si es posible obtener con los axiomas 1-4, o si resulta que no es una propiedad valiosa, otros matemáticos Podría sugerir que el axioma 5 se cae.

Encontrarás axiomas por todas partes en las matemáticas. En Logic, encontrarás más a menudo esquemas axiomáticos. Estos no dicen una sola cosa, como en el caso de Euclides, sino que implican una declaración general que involucra variables esquemáticas. Así, por ejemplo, en una lógica clásica podría tener lo siguiente:

• ((Φ ⊃ Ψ) ⊃ Φ) ⊃ Φ

Φ y Ψ representan cualquier fórmula bien formada del lenguaje. Son variables esquemáticas .

Answer 7

Los axiomas son el punto de partida. Las cosas que asumes que son ciertas para que puedas comenzar a probar y construir otras cosas con ellas. Normalmente, desea que sus axiomas sean lo más simples posible.

Uno de los primeros conjuntos de axiomas sigue siendo uno de los mejores para un ejemplo. Esa es la colección de los axiomas de geometría de Euclides.

1. Dados dos puntos, puedes construir la línea que pasa a través de ellos.
2. Dado un segmento de línea, puede extenderlo a una línea completa.
3. Si tienes un punto y una longitud, puedes construir un círculo con ese punto como el centro y con un radio igual a esa longitud.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí
5. Dada una línea y un punto, hay una línea única que pasa a través del punto de manera que es paralela a la primera línea.

El quinto axioma se conoce como el postulado paralelo. Se pensó que era significativamente diferente de los otros cuatro en que podría derivarse de los primeros cuatro. Más tarde, se demostró que puede tener geometrías consistentes (no euclidianas) que tienen las primeras cuatro, pero no la quinta.

Answer 8

Las connotaciones de la palabra han evolucionado un poco. Originalmente se suponía que un axioma era obviamente verdadero y universalmente aceptado. Hoy en día, la mayoría, si no todos, los viejos axiomas han sido desafiados, o se ha encontrado que las alternativas son igualmente consistentes. Los axiomas se tratan como hipótesis hoy, y esa es la palabra que prefiero usar para minimizar la confusión.