Eso es como preguntar cuáles son los puntos fundamentales de una enciclopedia.
El punto fundamental, uno que no está escrito explícitamente sino que es la base de todo, es la matemática formal. Usted sabe cosas en matemáticas definiéndolas a través de propiedades que declara explícitamente ( axiomas y definiciones ), y luego prueba cosas sobre ellas ( teoremas ) usando pruebas completas y precisas basadas en sus suposiciones iniciales y cosas probadas previamente.
Elementos de Euclides
Los Elementos incluyen 13 libros que cubren la geometría plana, la teoría de proporciones y proporciones, la teoría de números, una teoría de las magnitudes irracionales y la geometría sólida. Voy a describir sólo el primer libro.
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El libro I incluye solo las propiedades básicas de la geometría plana. Comienza con una lista de términos que se utilizarán y axiomas. El resto del Libro I incluye 48 proposiciones, cada una ilustrada por un diagrama y una prueba. Algunas de esas proposiciones son construcciones de figuras, pero la mayoría son propiedades de figuras. Muchos de ellos son bien conocidos. Éstos son algunos de los más importantes:
- Las proposiciones 5 y 6 establecen que si dos lados de un triángulo son iguales, entonces los dos ángulos opuestos a ellos también son iguales, y viceversa.
- Las proposiciones 4, 8 y 26 son los teoremas de congruencia ASA, SAS y SSS para triángulos.
- Las proposiciones 9 a 12 son construcciones para bisecar ángulos y líneas, y dibujar perpendiculares.
- La Proposición 20 es la desigualdad del triángulo: cualquier lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos lados.
- La Proposición 28 dice que la suma del ángulo interior de un triángulo es igual a dos ángulos rectos (180 °).
- La Proposición 31 es una construcción para dibujar una línea a través de un punto dado paralelo a una línea dada. (Uno de los axiomas, Postulado 5, dice que no puede haber otro).
- Las proposiciones 35 a 45 desarrollan la teoría del área.
- Las proposiciones 1 y 46 muestran la existencia de triángulos y cuadrados equiláteros, respectivamente, y cómo construirlos.
- Las proposiciones 47 y 48 son el teorema de Pitágoras y su inverso.