Depende de lo que quieres decir con pregunta. Si uno considera las preguntas como aquellas que son finamente expresables, la respuesta es [math] \ aleph_0 [/ math]. Si uno significa conceptos desconocidos conceptuales, entonces no hay límite [math] \ aleph_ \ alpha [/ math]. Las otras respuestas son correctas en uno de estos dos sentidos. Dejame explicar:
Las preguntas como expresiones:
Esto visualiza las preguntas de manera constructiva, es decir, como expresiones que deben comunicarse individualmente en caracteres y símbolos. Usted pregunta,
[math] \ text {Is} \ pi \ text {irrational?} [/ math]
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y en respuesta, invento una correspondencia única entre cada carácter o símbolo posible a los enteros no negativos (lo cual es informalmente posible, por ejemplo, si define los símbolos como compuestos por un número finito de átomos y sus posiciones en el espacio). Por ejemplo:
[math] a \ mapsto 0, \ \ pi \ mapsto 1, \ \ dots [/ math]
Para una pregunta-como-expresión arbitraria, deje que el número correspondiente al primer carácter sea el número [math] c_1 [/ math], el segundo sea [math] c_2 [/ math], etc., y deje la longitud del pregunta sea [math] n [/ math]. Luego tomar el producto finito de primos
[mates]
2 ^ {c_1} 3 ^ {c_2} 5 ^ {c_3} \ cdots p_n ^ {c_n}.
[/mates]
Por el teorema fundamental de la aritmética, esto inyecta el espacio de todas las preguntas-como-expresiones en la cuenta [math] \ mathbb {N} [/ math] de tamaño [math] \ aleph_0 [/ math]. Este es el concepto de la numeración de Gödel.
La razón por la que esto funciona a pesar de que los números reales [math] \ mathbb {R} [/ math] son incontables es que hay una distinción entre los reales no contables y, por ejemplo, el conjunto contable de números computables, que puede ser descrito de manera detallada por -algoritmo. Por lo tanto, [math] \ pi [/ math], [math] e [/ math], [math] \ sqrt {2} [/ math] son computables porque hay algoritmos para calcularlos de manera determinista (con precisión arbitraria).
Las preguntas como conceptos:
“¡Pero espera!” lo dices indignado Toma [math] \ mathbb {R} [/ math], que es increíblemente grande [math] (\ aleph_1) [/ math], y define el conjunto de preguntas
[mates]
\ {\ text {Is} x \ text {irrational?} \ mid x \ in \ mathbb {R} \}
[/mates]
para concluir que hay al menos [math] \ aleph_1 [/ math] preguntas.
Sin embargo, ¿cuántos [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math] se pueden escribir? Es decir, ¿cuántos de los elementos de este conjunto podrían seleccionarse y comunicarse individualmente? Sólo contables muchos, según nuestro argumento anterior. Si tratamos este conjunto como un conjunto de cadenas, está mal definido, ya que la mayoría de estas cadenas serán infinitamente largas, es decir, no serán válidas como expresiones de preguntas.
En realidad no has comunicado innumerables preguntas-como-expresiones; has comunicado la intención de innumerables preguntas (lo que llamaré) conceptos: “a qué nos referimos” s. *
Si uno adopta esta vista, entonces no hay límite para el número de incognoscibles. Uno puede tomar conjuntos de órdenes de poder sucesivos [math] \ aleph_2 = 2 ^ {\ aleph_1}, \ aleph_3 = 2 ^ {\ aleph_2}, [/ math] etc., quizás tome el límite superior mínimo sobre todos estos conjuntos de poder para obtener un conjunto de tamaño [math] \ aleph_ \ omega [/ math], y así sucesivamente. Luego simplemente defina su pregunta como concepto sobre este conjunto de tamaño arbitrariamente infinito para obtener un conjunto de preguntas como concepto de este tamaño. Por ejemplo, con [math] P [/ math] que denota la operación de ajuste de potencia,
[mates]
\ {\ text {Is} 1 \ in S \ text {?} \ mid S \ in P (\ mathbb {R}) \}
[/mates]
nos da [math] \ aleph_2 [/ math] preguntas-como-conceptos.
*: Esta idea de no poder “escribir todas las afirmaciones” es la razón por la cual los esquemas de axiomas existen y se usan en los axiomas de Peano y ZFC. Sí, la base de nuestras matemáticas se basa en un número infinito de axiomas.