¿El punto infinito negativo y el punto infinito positivo están en el mismo punto o muy cerca uno del otro?

Answer 1

Resulta que tienes que ser muy explícito cuando quieres considerar preguntas como esta. La interpretación más natural de “punto” y “muy cerca” implica la distancia euclidiana en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] (y más naturalmente, [math] n = 1 [/ math]). Desafortunadamente, en este espacio, ninguno de [math] \ pm \ infty [/ math] es en realidad puntos, por lo que no tiene sentido hablar de cuán separados están unos de otros.

Dicho esto, puede considerar la línea de número real extendida. En el tratamiento habitual de ordenar este conjunto, el infinito positivo y negativo son puntos diferentes y están muy alejados entre sí (en el sentido de que [math] – \ infty \ le a \ le \ infty [/ math] para cada [math ] a \ in \ bar {\ mathbb R} [/ math]).

Y dicho esto, hay otras construcciones que pueden ubicar [math] \ pm \ infty [/ math] en el mismo punto.

Así que tu pregunta (como la que se lee más naturalmente) no tiene una respuesta. Sin embargo, hay formas de interpretar su pregunta en las que puede obtener cualquiera de las dos respuestas.

Answer 2

Depende de tus definiciones y sistema de números. En general no, [math] \ infty [/ math] y [math] – \ infty [/ math] no son puntos ni están cerca uno del otro.

Pero puede consultar la Línea Numérica Real Proyectivamente Extendida, similar a lo que el Dr. Lamar mencionó en su respuesta.

Answer 3

¡No y no!

No creo que sea útil considerar el infinito como un punto. Piense en ello como una aspiración o una tendencia, algo a lo que apunta pero que nunca alcanza.

Entonces, si y = 1 / x, entonces como x tiende a cero desde el lado positivo

Di x = 1/2, 1/4, 1/8 …
Entonces y se hará más y más grande
Es decir, cuando x tiende a cero, y tiende a infinito.

Alternativamente, si x = -1/2, -1/4, -1/8

Entonces, cuando x tiende a cero, y tiende a menos infinito

Ahora considere cómo se está comportando y en cada caso, casi no puede decir que está tendiendo al mismo valor en cada caso y ni siquiera están cerca.

Answer 4

Puede tenerlos idénticos o separados y en diferentes extremos, depende de usted.

Answer 5

Puedes considerar que una línea recta es un círculo de radio infinito. Y entonces los dos extremos de la recta numérica real parecerán converger. Realmente es una cuestión de cómo eliges mirarlo.