¿Es este un problema de tarea? Voy a responder a esto de la forma en que lo haría un profesor o un profesor …
Cualquier libro de texto estático tendrá ecuaciones para el caso en que los soportes tengan la misma altura y la carga se distribuya por igual a lo largo del cable (longitud del arco) cuando la carga solo sea de su propio peso, o en el caso en que la carga se distribuya por igual a lo largo del eje X cuando la carga de muchos cables verticales que van a una carretera por debajo es mucho mayor que la carga del peso del propio cable (y trata los muchos puntos de carga verticales como una carga continua en lugar de muchas cargas discretas). Entonces, ya sea para la solución de catenaria pura o el caso de parábola pura, solo tienes que buscar en un libro (o en la búsqueda de Google).
Los que diseñan y construyen un puente colgante deben tener en cuenta el cambio en la posición del cable a medida que se agrega la carga. Cuando Richard Feynman visitó los Laboratorios Bell, la construcción del Puente George Washington estaba en marcha y era visible desde sus ventanas. Feynman notó que alguien estaba usando la cinta en una ventana para ver cómo cambiaba el cable de una catenaria a casi parabólica a medida que se agregaba la carga.
Para puentes reales, no suele haber una solución de forma cerrada; la forma real debe ser determinada por métodos numéricos (en los viejos tiempos, computadoras analógicas o métodos gráficos). Cada sección del cable de suspensión principal que cuelga libremente entre los cables verticales que bajan al puente es una catenaria separada, por lo que tiene un conjunto de ecuaciones simultáneas no lineales para resolver haciendo que las coordenadas y las tensiones coincidan en cada punto de carga. En mis días de estudiante de ingeniería, hicimos tales cosas escribiendo el código de Fortran para la iteración de Newton-Raphson; hoy existen sistemas enlatados para dicho análisis o puede configurar las ecuaciones en una hoja de cálculo y usar Excel Solver.
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