¿Cuándo se usan los números imaginarios en la vida real? ¿Qué aplicaciones prácticas tienen?

Answer 1

Esta imagen es relevante, lo prometo…. más sobre esto más tarde …

Como han dicho otros, mientras que los números imaginarios no son muy útiles fuera de los campos técnicos, se usan mucho en varios campos técnicos.

Se usan a menudo, por ejemplo, para representar ondas. Las olas del océano son olas “transversales”; saludan en una dirección particular que no es solo su dirección de viaje. En el caso de las olas del océano, eso es hacia arriba y hacia abajo, mientras que la ola misma se mueve, digamos, hacia la costa.

Por otro lado, una onda de sonido es como áreas de aire ligeramente comprimido que se alejan de algo que las comprime, como el cono de un altavoz o una caja de voz humana. Las ondas sonoras “ondean” a lo largo de la dirección en que viajan, y las llamamos ondas “longitudinales”.

La luz (y las ondas de radio, rayos X, microondas, calor radiante, lo que llamamos ondas electromagnéticas o “EM” en general) es una onda transversal; Tiene una dirección para ello. Las ondas “ondean” en ángulo recto con respecto a la dirección en que la onda viaja. Es por eso que, si tiene una radio FM, podría terminar ajustando la antena para tratar de encontrar la mejor posición para ella. La onda de radio invisible trata de mover pequeñas partículas subatómicas, electrones, en una dirección determinada. Queremos que se muevan arriba y abajo de la antena para un efecto máximo.

Dado que las ondas EM tienen una dirección hacia ellos, puede combinar lo que puede considerar como dos ondas EM separadas. Uno podría estar agitando hacia arriba y hacia abajo, mientras que el otro se mueve de lado a lado. Ambos se mueven hacia adelante juntos como una ola.

Es útil usar números “complejos” para representar tal onda. Un número complejo es un número “real” (ordinario) agregado a un número “imaginario”. Simplemente multiplicamos una medida de la fuerza de una de las ondas por el número imaginario [math] i [/ math], a menudo representado como [math] j [/ math] en la electrónica, pero ambos significan la raíz cuadrada de [ math] -1 [/ math].

La ventaja de hacer esto se debe al hecho de que la multiplicación por un número imaginario puede verse como algo que gira 90º. Entonces, si una cosa está a 90º de otra, puede ser útil representar a los dos matemáticamente al hacer que uno de ellos sea un número imaginario. El otro puede ser un número ordinario no imaginario. La combinación de los dos es un número complejo, como [math] 3 + 4i [/ math].

Así que [math] 3 + 4i [/ math] podría considerarse como algo con una fuerza o longitud o lo que sea de “3”, con algo que tiene una longitud de “4” en ángulo recto.

Si tomas un palo y lo giras 90º en el sentido de las agujas del reloj dos veces, termina apuntando en la dirección opuesta a su dirección original. Si su dirección original se representa como [math] 1 [/ math], su nueva dirección se puede representar como [math] -1 [/ math]. Haga lo mismo dos veces más: gírelo 90º en el sentido de las agujas del reloj otras dos veces, y lo tiene apuntando en la misma dirección en la que lo hizo para comenzar.

Esto es como la manecilla de la hora en un reloj que se mueve de 12 a 3 y luego a 6 (así que ahora apunta en la dirección opuesta a la original), y luego a 9 y finalmente a 12. Es decir, cuatro giros a la derecha de 90º.

Los números imaginarios se comportan así. Mira lo que sucede cuando multiplicamos el número [math] 10 [/ math] por i repetidamente.

1. Comenzamos con el 10.
2. [math] 10 * i [/ math], escribimos como [math] 10i [/ math] (muy parecido a decir “diez manzanas” en lugar de “diez veces apple”. Podemos pensar en [math] 10i [/ math ] en un ángulo de 90º a 10. Por ejemplo, la manecilla de la hora en un reloj podría tener una longitud de diez centímetros, y [math] 10i [/ math] representa la manecilla de la hora cuando apunta a las 3 en punto. La misma longitud, pero tiene una dirección diferente, a 90º de la dirección original.
3. [math] 10i * i = -10 [/ math]. Ahora tenemos un número negativo, que podemos considerar como lo opuesto, casi, a [math] 10 [/ math]. Si estamos usando [math] 10 [/ math] para representar una dirección, entonces – [math] 10 [/ math] es la dirección opuesta directa a [math] 10 [/ math]. Esto funciona por definición de i. Multiplicar [math] i [/ math] por sí mismo nos da [math] -1 [/ math], que es la definición si [math] i [/ math]. Es la raíz cuadrada de [math] -1 [/ math].
4. [math] -10 * i = -10i [/ math]. Podemos pensar que esto ha rotado algo 270º, tres cuartos de un giro completo. Si estamos hablando de la manecilla de la hora en un reloj, ahora está apuntando a las 9 en punto. Todavía tiene la misma longitud: 10 cm o 10 mm o lo que sea.
5. [math] -10i * i = 10 [/ math]. Ahora estamos de vuelta a donde empezamos. Podríamos escribir eso de una manera más larga como esta: [math] (- 10 * i) * i = -10 * (i * i) = -10 * -1 = 10 [/ math]

Todo lo que hicimos fue seguir multiplicando por i, y terminamos con el número con el que comenzamos, después de pasar por lo que podríamos pensar que representa la misma longitud o altura de la ola, o alguna magnitud en general, apuntando en diferentes direcciones.

Al combinar números reales e imaginarios, podemos rotar a cualquier ángulo que nos guste. Si un número complejo como [math] 2 + 5i [/ math] representa dos cosas de diferentes fortalezas o direcciones en ángulo recto entre sí, al multiplicar por varios otros números complejos, podemos rotar ambas cosas en el mismo ángulo: cualquier ángulo que nos guste.

Nada de esto es realmente necesario. Podríamos hacer todo esto sin números imaginarios. Los números imaginarios simplemente simplifican las matemáticas en este caso. Bueno, “simplifica” a expensas de tener que aprender a usarlos, pero una vez que lo hayas hecho, muchas ecuaciones se pueden escribir de manera más simple que sin números imaginarios.

Una cosa interesante a tener en cuenta es que en física a menudo podemos descomponer una cosa en dos cosas en ángulo recto entre sí. Un viento del norte se puede considerar como un viento del noreste combinado con un viento del noroeste. Si estás navegando hacia el noroeste, lo que más te interesa es la parte noroeste.

Cómo hacemos la descomposición depende de nosotros; un viento del norte también podría considerarse como un viento que sopla muy ligeramente hacia el este, más un viento que sopla casi totalmente hacia el norte, pero también un poco hacia el oeste. De cualquier manera tienes dos cosas en ángulo recto entre sí. En este caso, los bits este-oeste se anulan entre sí (o así es como solemos pensar), y el resultado combinado es el norte, y aún así puede navegar hacia el noroeste o noreste con un viento del norte, así que Esto no es una idea puramente filosófica. Realmente funciona y tiene sentido.

Usar números “complejos” para tratar con ángulos o rotaciones es solo un pequeño ejemplo del uso de ellos, y en sí mismo tiene varias ventajas (en ciertas situaciones, como cuando se trata de ondas transversales que pueden existir) en comparación con solo dos numeros reales; ventajas que van más allá de proporcionarnos lo que muchos consideran una forma especialmente elegante de lidiar con las rotaciones. Tienen muchas otras aplicaciones en matemáticas y física.

Multiplicar números complejos entre sí repetidamente puede dar resultados interesantes. El conjunto de Mandelbrot en matemáticas se genera a partir de una ecuación simple, que se aplica una y otra vez a su propia salida.

Aquí hay un par de imágenes creadas haciendo exactamente eso con un programa de C ++. Demostré cómo crear en un curso sobre C ++ que hice. Cada píxel en la pantalla se tradujo en un número complejo, y se usó una ecuación simple, aplicada repetidamente, para encontrar un color para cada píxel.

Para cualquier persona interesada, el código fuente de este curso se puede encontrar aquí (con la versión final del programa al final del curso): caveofprogramming / advanced-cplusplus

También hay un PDF que contiene una breve descripción de los números complejos en la parte superior de esta página.

El “conjunto de Mandelbrot” en realidad está representado por las áreas negras en estas imágenes. Es lo que está fuera del conjunto lo que es visualmente interesante. Encuentro el Mandelbrot y los “fractales” relacionados intrigantes. Puede ampliarlos de forma indefinida y, si bien las áreas ampliadas tienden a parecerse a las áreas menos ampliadas, los nuevos patrones surgen a medida que avanza. Se necesita más y más poder de computación para ir más y más profundo, y no es difícil ver una parte del fractal de Mandelbrot que nadie ha visto antes. Si cazas lo suficiente y pasas el tiempo suficiente en él, podrías ver algo que ni siquiera se parece a una parte del “fractal” que alguien haya visto antes.

Toda esta complejidad, generada por una ecuación muy pequeña: una ecuación que involucra un número complejo que se multiplica por sí mismo repetidamente.

¿Es esto una extraña peculiaridad matemática, o nos dice algo más sorprendente de lo que quizás ninguno de nosotros se haya dado cuenta?

[Acerca de las imágenes: la segunda imagen de este post, en verde, muestra el cuerpo principal del conjunto de Mandelbrot y algunas de las cosas interesantes que lo rodean. La imagen final, de varios colores, está un poco manchada: fue producida por uno de los programas que se encuentran en la mitad de mi curso, contiene algunos píxeles que normalmente no incluimos en el algoritmo de coloración, y no hay borrosidad, a diferencia del verde Imagen: un poco de desenfoque hace que el fractal se vea realmente espectacular. Aunque se utiliza una ecuación simple para crear estas imágenes, la elección de cómo colorearlas es en parte arbitraria; el algoritmo nos da valores para los píxeles que se encuentran justo fuera del conjunto de Mandelbrot, y asignamos esos valores a los colores usando un rango de colores de nuestra elección para que podamos distinguirlos entre sí.]

Answer 2

Aquí hay tres ejemplos súper triviales que muestran el uso. Obviamente, obtienes estos resultados de muchas maneras diferentes porque son muy elementales, pero son mucho más fáciles usando números complejos que con números reales.

En un nivel más profundo, hay muchas veces que si trata una expresión como una función compleja, entonces la estructura está mucho más restringida de lo que sería. Por ejemplo, la validez de la serie de Taylor está dentro de un disco hasta el primer polo (u otra no analítica) en el plano complejo. Por ejemplo, Taylor expandiendo la siguiente función alrededor del origen.
[math] f (x) = \ frac {1} {x ^ 2 + 1} = 1 – x ^ 2 + x ^ 4 + \ ldots [/ math]
Quizás te preguntes dónde es válido, pero sabes que hay un polo en
[math] x = \ pm i [/ math]. Lo que significa que esta serie es válida con [math] | x | <| \ pm i | = 1 [/ math].
Podría haberlo descubierto, pero hay muchos otros ejemplos, pero muestra que el comportamiento de esta función sobre los números reales está siendo dictado por el comportamiento en el plano complejo. Esto puede parecer notable, pero ¿cómo sabe la función si debe considerarse una variable real o compleja? Dado que los números reales son un subconjunto de números complejos, el comportamiento del número complejo dicta el comportamiento de los números reales.

Fórmula de Euler
La fórmula de Euler es un ejemplo simple.
[math] \ exp (ix) = \ cos (x) + i \ sin (x) [/ math]
Hace que hacer la fórmula de doble ángulo sea realmente fácil
[math] \ exp (2ix) = \ cos (2x) + i \ sin (2x) [/ math]
[math] (\ exp (ix)) ^ 2 = (\ cos (x) + i \ sin (x)) ^ 2 [/ math]
[math]. \ qquad = \ cos ^ 2 (x) – \ sin ^ 2 (x) + 2 i \ sin (x) \ cos (x) [/ math]
Identificando los componentes reales e imaginarios que ves.
[math] \ cos (2x) = \ cos ^ 2 (x) – \ sin ^ 2 (x) [/ math]
y
[math] \ sin (2x) = 2 \ sin (x) \ cos (x) [/ math]

¿Quieres hacer la fórmula de triple ángulo, eso es casi tan fácil?
[math] \ exp (3ix) = \ cos ^ 3 (x) + 3i \ cos ^ 2 (x) \ sin (x) [/ math]
[math]. \ qquad \ qquad- 3 \ cos (x) \ sin ^ 2 (x) -i \ sin ^ 3 (x) [/ math]
Asi que
[math] \ cos (3x) = \ cos ^ 3 (x) – 3 \ cos (x) \ sin ^ 2 (x) [/ math]
[math] \ sin (3x) = 3 \ cos ^ 2 (x) \ sin (x) – \ sin ^ 3 (x) [/ math]

Resolviendo ecuaciones diferenciales lineales.
El famoso circuito LRC (o oscilador armónico amortiguado) también es mucho más fácil con números complejos
[math] \ ddot {I} + \ frac {R} {L} \ dot {I} + \ frac {1} {LC} I = 0 [/ math]
Utilizar
[math] I = I_0 \ exp (i \ omega t) [/ math]
y esto se convierte en
[math] I (- \ omega ^ 2 + i \ frac {R} {L} \ omega + \ frac {1} {LC}) = 0 [/ math]
lo que significa que necesitas resolver esta ecuación cuadrática:
[math] \ omega = \ frac {i R} {2L} \ pm \ sqrt {- \ frac {R ^ 2} {4L ^ 2} + \ frac {1} {LC}} [/ math]
Y por lo tanto
[math] I (t) = I_0 \ exp (- \ gamma t) \ cos (\ omega_0 (t-t_0)) [/ math]
con
[math] \ gamma = \ frac {R} {2L} [/ math]
y
[math] \ omega ^ 2_0 = \ frac {1} {LC} – \ frac {R ^ 2} {4L ^ 2} [/ math]

Haciendo integrales
El cálculo de residuos dice
[math] F = \ int dz f (z) = 2 \ pi i \; \ sum_ {z_0} \ text {Res} (f) \ Bigg | _ {z_0} [/ math]
No voy a entrar en la teoría de los residuos, pero simplemente señalo que este dolor en la integral que se puede hacer con los métodos normales es muy fácil con el cálculo de los residuos.
[math] \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} dx \ frac {1} {x ^ 2 + a ^ 2} = 2 \ pi i \ left (\ frac {1} {x + ia} \ right ) \ Bigg | _ {x = ia} = \ frac {\ pi} {a} [/ math]
Como otro ejemplo similar es un poco menos trivial.
[math] \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {dx} {(x ^ 2 + a ^ 2) (x ^ 2 + b ^ 2)} [/ math]
[math]. \ qquad = 2 \ pi i \ Big (\ frac {1} {(x ^ 2 + b ^ 2) (x + ia)} \ Bigg | _ {x = ia} [/ math]

[math]. \ qquad \ qquad + \ frac {1} {(x ^ 2 + a ^ 2) (x + ib)} \ Big | _ {x = ib} \ Big) [/ math]
[math]. \ qquad = \ frac {\ pi} {ab (a + b)} [/ math]

Answer 3

Matemáticamente, los números complejos son útiles porque hay muchos tipos de problemas en los que puedes comenzar a trabajar donde no tiene mucho sentido sin ellos, por ejemplo, encontrar los valores propios de una matriz determinada.

Sin embargo, en física, por lo general, puedes desplazarte utilizando números complejos si quieres hacer un esfuerzo hacia atrás. Por ejemplo, puede usar números complejos para representar la corriente, el voltaje y la impedancia en un circuito de CA, pero puede hacer todo esto con senos y cosenos si realmente lo desea. El análisis de Fourier es omnipresente en la ciencia y la ingeniería cuando analiza las ondas, pero si está midiendo datos reales, nuevamente puede hacer un análisis de Fourier real con senos y cosenos.

El análisis complejo es una herramienta matemática esencial, por lo que la mayoría de los físicos aprenden el cálculo de residuos, pero de nuevo, esto solo facilita las matemáticas. Esas integrales extravagantes probablemente tienen algún otro método de solución, por computadora, todo lo demás falla.

En la física clásica, el análisis complejo es una gran herramienta para analizar el flujo de fluidos en dos dimensiones, pero una vez más puede hacerlo sin él.

Incluso en la mecánica cuántica, lo único que tiene un valor complejo es una misteriosa “función de onda” que nos permite calcular algo, no las probabilidades reales o los resultados de las mediciones.

¿Entonces, para qué molestarse? En ningún momento debemos realmente representar una cantidad física con un número complejo.

Bueno, imagina que te enseñaron a hacer matemáticas sin el dígito “5”. Usted podría pasar. Si quisieras decir que hay 57 de algo, solo dirías 60-3 o 47 + 10 o algo así. No necesariamente podría escribir la factorización prima de cada número, pero podría decir que algunos números tienen factorizaciones primarias que son fáciles de escribir, pero si un número es un múltiplo de cinco (el número, no el dígito), hay No es una forma fácil de escribir la factorización prima, pero aún existe. O podrías escribir la factorización prima de diez como 2 * (4 + 1).

El dígito “5” no agrega nada nuevo, simplemente hace que todo sea mucho más fácil. Eso es sobre cómo son los números complejos en los bits de matemáticas con los que estoy familiarizado. (Lo que ciertamente no es mucho.)

Answer 4

No hay nada de malo en ninguna de las respuestas anteriores, pero solo agreguemos algunas notas para subrayar por qué surgen los dispositivos matemáticos. Un ejemplo: el uso de signos para que los números se dirijan es una extensión a una herramienta de modelado (aritmética). Un signo menos nos permite representar una gama mucho mayor de problemas en un lenguaje matemático. El significado de -1, por ejemplo, no es solo su posición en una línea numérica, lo que nos ayuda a visualizarlo, sino la extensión que permite a muchas ideas matemáticas que luego se usan en problemas del mundo real, por ejemplo, números negativos en el banco. cuentas = modelo de deuda en lugar de ahorros.

Nadie necesita una solución al problema de la raíz cuadrada de menos uno, sabemos que no tiene sentido. Pero hay problemas en los que obtener soluciones nos obliga a entender los enigmas matemáticos.

Si en el proceso de encontrar las raíces de un polinomio el factor (x ^ 2 +1) surge, la solución implica que x = raíz cuadrada (-1) que no tiene esperanza y significa que no obedeceremos un teorema fundamental.

Es decir, un polinomio P (x) de grado n tiene exactamente n raíces , reales o complejas.

Al ampliar el sistema numérico con el concepto de números imaginarios, podemos crear una comprensión más profunda de la forma matemática y resolver, aunque con estos nuevos números extraños, un polinomio con grado n y encontrar n raíces.

Pero cuando no resolvimos debido a las implicaciones que x = raíz cuadrada (-1) es una imposibilidad, simplemente significa que la gráfica no intercepta el eje x y no tiene una solución.

Esta segunda respuesta es solo un paso ingenuo en el proceso de aprendizaje de las matemáticas. La primera respuesta intenta ampliar el repertorio de las matemáticas.

Imaginemos que podemos reemplazar x = sin θ y reescribir el factor (sin ^ 2θ + 1) reemplazando x

Esto puede ser reemplazado por (cos ^ 2θ).

e igualar nuestro factor a cero como en encontrar la intersección con un eje

que ahora tiene una solución (para θ) en ese cos = π / 2 o 3π / 2 o 5π / 2 … etc. Esto no es encontrar x, sino cambiar nuestro modelo y nuestra variable para encontrar un modelo nuevo y consistente como parte de nuestro conjunto de herramientas. En algún momento podríamos (o no) encontrarlo útil. De hecho, para el procesamiento de señales, este dispositivo matemático nos permite modelar relaciones de fase (fasores)

La misma matemática surge en la mecánica cuántica como una solución para las ecuaciones de onda que nos permiten modelar los estados de energía en electrones en el átomo.

(wikipedia)

Entonces, ¿qué ha pasado aquí? First maths es un lenguaje (utilizado para construir modelos altamente consistentes (cuantitativos)). Los matemáticos detectan los patrones en formas algebraicas / geométricas y, manteniendo un estricto cumplimiento de las reglas y la estructura (para preservar la consistencia), los extienden para incluir nuevos fenómenos observables. Lo que comienza como la idea ridícula de la raíz del negativo se convierte en un modelo consistente para investigar las relaciones de fase (a través de funciones trigonométricas). Las matemáticas no son reales, sino un mecanismo de representación simbólico que nos ayuda a predecir. Mire el resto de los comentarios y vea cómo encajan con la idea de una representación. Trate cada uso de números complejos como una representación. Los números complejos nos proporcionan un poderoso conjunto de herramientas para modelar diversos fenómenos. El nombre “complejo” deja algo que desear.

Answer 5

Ecuaciones del circuito eléctrico.
Especialmente aquellos con elementos no lineales como condensadores, inductores o transformadores.
La carga en un condensador y la corriente en un inductor varían según las funciones exponenciales del tiempo de trabajo y tienen relaciones interesantes entre sí.
Ahora, estos problemas se pueden resolver sin usar números complejos, usando funciones trigonométricas de seno y coseno, pero los números complejos de la OMI hacen que sea más intuitivo y más fácil de manejar.
PD: No soy un ingeniero eléctrico, por lo tanto, no puedo detallar los usos avanzados, si los hay.

Además, en sistemas mecánicos, los sistemas de resorte ideales, los osciladores armónicos e incluso el análisis acústico se simplifican utilizando números complejos. Todos ellos tienen términos relacionados con la frecuencia.

Answer 6

Observo que mencionas la mecánica cuántica en tu pregunta, y creo que este es probablemente el ejemplo más importante que existe; Sin embargo, va mucho más profundo que cualquier ecuación. Todo tiene que ver con las amplitudes de probabilidad.

Muchas áreas de la ciencia tratan con la probabilidad (aunque en general tiende a surgir principalmente debido a un conocimiento incompleto de un sistema) y es bien sabido que la QM es de naturaleza inherentemente probabilística. Sin embargo, lo que hace que la probabilidad cuántica se destaque es que, en lugar de tratar las probabilidades como números reales entre 0 y 1, todas sus ecuaciones funcionan más directamente con números complejos [math] a + ib [/ math], llamados amplitudes de probabilidad, cuya magnitud los cuadrados ([math] | a + ib | ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 [/ math]) dan la probabilidad de algún resultado.

La razón por la que esto es importante es que, mientras que en la mayoría de los sistemas, la probabilidad de cualquiera de varios resultados (mutuamente excluyentes) viene dada por la suma de las probabilidades individuales, en QM, la suma se toma sobre las amplitudes de probabilidad, siendo la probabilidad final la magnitud al cuadrado de esta suma, en oposición a la suma de los cuadrados de magnitud. Tratando un número complejo como una pequeña flecha en un plano bidimensional, los sumas pegando cabezas de flecha a colas sucesivas.

Para dar un ejemplo, suponga que un evento podría ocurrir en una de las cuatro formas (exclusivas) (por ejemplo, una partícula disparada hacia un tablero con cuatro ranuras, golpeando una pared posterior en algún punto). Supongamos además que la amplitud para cada posibilidad es (respectivamente) [math] 1/2 [/ math], [math] i / 2 [/ math], [math] -1/2 [/ math] and [math] – i / 2 [/ math]. Si tuviéramos que sumar los cuadrados de magnitud, deduciríamos que la probabilidad para el evento es 1. Sin embargo, sumar las amplitudes da una amplitud total, y por lo tanto un cuadrado de magnitud general, de 0! Mientras que nadie puede (aún) explicar por qué , la evidencia experimental para este último es abrumadora.

Algunos autores han sostenido (y no puedo refutar) que la naturaleza intrínsecamente compleja de las amplitudes de probabilidad no solo es exclusiva de la mecánica cuántica, sino que es el aspecto definitorio de QM. Si eso es justo o no, no hay duda de que los números complejos son absolutamente centrales para toda la teoría. Dada la naturaleza cuántica inherente del transistor humilde (no tan), y los trillones de transistores requeridos para realizar este intercambio, creo que sería difícil encontrar una aplicación más esencial para el mundo real.

Answer 7

Voy a arriesgarme aquí. He estado en el negocio de las matemáticas / ingeniería / física / programación durante unos 25 años. Cada aplicación práctica en el mundo real de números complejos que he visto ha estado calculando con la geometría disfrazada.

Eso no quiere decir que los números complejos no son interesantes por derecho propio. Son una forma muy útil de calcular con geometría, después de todo. Pero en última instancia, aún está calculando con la geometría, y en cualquier momento en que aparezcan números complejos en sus matemáticas aplicadas, puede ayudar a su comprensión a buscar la interpretación geométrica.

Considere un ejemplo simple: análisis de Fourier de una señal 1D. Aquí, en realidad se trata de una estructura bidimensional: la coordenada de amplitud y la coordenada de tiempo. Es un espacio abstracto en 2D, pero sigue siendo un espacio en 2D. Trabajar con números complejos realmente funciona con este espacio bidimensional de una manera más manejable.

Incluso en la mecánica cuántica, la parte compleja / hipercompleja es, en última instancia, la geometría disfrazada.

Answer 8

Depende de si considera que la ingeniería eléctrica, la mecánica cuántica y las matemáticas superiores son “prácticas”. (Si no lo haces, entonces no me importa mucho lo que pienses).

Answer 9

Parece que estás paralizado por la palabra “imaginario” y piensas que significa imposible y más allá de la razón.

Un número complejo es un par de números reales que consisten en una parte real y una parte imaginaria . Los números complejos comparten algunas, pero no todas, las propiedades de los números “reales”.

Un ejemplo famoso de una propiedad física modelada por números complejos es la impedancia, que es el análogo de la resistencia en los circuitos de corriente alterna (CA).

En términos más simples, para circuitos de corriente continua (DC) tenemos la ley de Ohm .

[math] V = IR [/ math]

voltaje = corriente actual resistencia

Tenga en cuenta el uso de I para la corriente.

En los circuitos de CA, tenemos la misma configuración, excepto que V e I son cantidades periódicas, y hay otros componentes del circuito conocidos como capacitores e inductores . La física dice que la ley de Ohm todavía se aplica pero en la forma de una ecuación diferencial de segundo orden (que omitiré) y eso hace que los cálculos de CA estén fuera del alcance de las personas promedio. Sin embargo, la mayoría de las interacciones complejas de un circuito de AC LRC (inductancia, resistencia, capacitor) se amortiguan después de un corto período de tiempo, dejando un estado estable simple modelado fácilmente extendiendo la ley de Ohm al uso de valores complejos para la inductancia y la capacitancia. Como I se usa para el nivel actual, los valores de impedancia parecen

[math] Z = R + j \ omega {L} + \ frac {1} {j \ omega {C}} [/ math]

donde [math] \ omega = 2 \ pi {f} [/ math], f = frecuencia, L = inductancia, C = capacitancia y j se usa en lugar de i. Vea los detalles aquí.

Answer 10

Los números imaginarios o complejos no se utilizan per se en la vida “real”. Sin embargo, sus aplicaciones son ubicuas. Como han mencionado otros, el procesamiento de señales y la mecánica cuántica requieren números complejos, por lo que la máquina en la que está leyendo esto no podría diseñarse sin el uso de números complejos.

¿Por qué los números complejos son tan ubicuos, sin embargo? Es un poco sutil. Las matemáticas son el estudio de las “estructuras” matemáticas, como los números “reales”, o los grupos, las matrices, las formas topológicas o muchas otras “estructuras”. Las estructuras consisten en objetos y operaciones en esos objetos. Una “teoría” matemática consiste en teoremas sobre cómo interactúan.

Para que una teoría funcione bien, la estructura debe estar “cerrada” bajo las operaciones involucradas. De lo contrario, las cosas terminan extremadamente desordenadas y difíciles de entender. Por lo tanto, para ciertas operaciones, como la raíz cuadrada, es necesario usar una estructura más grande que solo los números reales. Como han dicho otros, eso también es cierto para resolver polinomios, tener expresiones simples para señales sinusoidales, calcular invariantes de matrices, y así sucesivamente.

Entonces, al final, los números complejos se usan en todas partes porque hacen que sea manejable hacer matemáticas que describen fenómenos físicos. Entender esos fenómenos físicos con esas matemáticas hace posible diseñar casi todo lo que ves a tu alrededor, ¡incluyendo mucha comida!

Answer 11

Hacer ciertas tareas geométricas se vuelve más simple. La adición es la traslación de puntos, y la multiplicación es la rotación y la dilatación de los puntos. Lo he usado en una aplicación comercial para definir transformaciones geométricas para diseñar cosas en tarjetas de datos.

Escribí un comentario gigante en el archivo, que se “filtró” al público y que fue famoso por un tiempo. Aquí está: Número de pegado 133628: Números complejos

Answer 12

Los números imaginarios generalmente se consideran números bidimensionales que existen en un plano, a diferencia de los números reales, que existen en una recta numérica. Los números bidimensionales se utilizan en todas partes.

Yo diría que en las profesiones como la ingeniería eléctrica, los números bidimensionales se usan más comúnmente, porque son muy buenos para describir fenómenos oscilantes como la corriente alterna, por ejemplo.

La resistencia en un circuito de corriente oscilante es su impedancia . El cálculo de la impedancia requiere números complejos, que tienen componentes imaginarios.

Mi consejo es tomar un curso en línea sobre variables complejas lo antes posible. Te dará el poder de entender las cosas de la ciencia y la ingeniería que te faltan actualmente.

Aquí hay un enlace que explicará la identidad de Euler para comenzar.

http: //www.theBillyLeePontificat …

Answer 13

He leído todas las respuestas y todas me parecieron griegas … parece difícil de entender para un lego …

Respuesta, es esto lo que entiendo:

El sistema de números decimales existente nos da con todos los tipos de números … enteros, enteros, fracciones, racional, irracional, pero existen algunas limitaciones en el uso cuando intentamos usar números reales negativos.

Considera esto :

¿Cuál sería la respuesta para la raíz cuadrada de -25? ¿Sería +5 o -5?

La limitación es par si multiplicamos dos números negativos, o dos respuestas de números positivos siempre serían números positivos o cero.

Por lo tanto, aquí hay una brecha, así que matemático en ese momento incluyó un número llamado i cuyo valor sería -1, esto hace la vida más fácil.

ahora la raíz cuadrada de -25 sería 5i… viola

Esto también hizo posible la factorización de números reales de una manera realmente fácil … es decir …
a ^ 2 + b ^ 2 = (a + ib) (a-ib)

Ahora estos dos factores: (a + ib) y (a-ib) pueden ser cualquier número, no necesariamente un número primo … lo que significa que definitivamente proporciona un factor para cualquier número dado sin pensar mucho 😉

Esta representación también tuvo un gran uso en la física donde se actuaron campos de fuerza múltiples en un objeto … como las ondas electromagnéticas … archivado en una dirección y archivado en una dirección.

En las corrientes de CA donde la fase de electricidad cambia en las direcciones negativa y posterior … El sistema numérico .complex ayuda de manera considerable a realizar los cálculos.

Entonces, en nuestro mundo real, tenemos que lidiar con muchos números reales que no son positivos y debemos tener en cuenta los cálculos …
En física, tenemos que estudiar las fuerzas que se entrelazan a través de varias direcciones en un punto. El sistema numérico de las muestras nos ayuda a enfrentar esa situación.

Traté de presentar la respuesta de la forma más básica y puede que no coincida completamente con los términos técnicos, pero el concepto es más o menos el mismo.

Answer 14

Lo bueno de los números imaginarios es que nos permite expresar una forma de onda sinusoidal en forma polar utilizando la fórmula de Euler. Esto, a su vez, se puede usar para representar la forma de onda como un vector en el plano complejo. Por lo tanto, si se superponen dos o más ondas, como en los fenómenos de interferencia, entonces podemos tener una adición vectorial en el plano complejo de estas ondas. Esto permite una visualización más fácil que dibujar la forma de onda resultante real en el dominio del tiempo. También es más fácil multiplicar las dos formas de onda cuando se expresan en forma polar.

Answer 15

Supongo que lo que quisiste decir con números “imaginarios” son números complejos. ¡Sin embargo, no son más imaginarios que cualquier otro número!

Los números naturales que aprendió a contar con sus dedos en el jardín de infantes, los números reales que usa para calcular los impuestos, los números irracionales como pi y e, son todo menos producto de la imaginación humana. ¿Nunca preguntaste algo sobre su practicidad?

El hecho de que no utilice un tipo particular de número “imaginario” no significa que no sea práctico.

Answer 16

El Conjunto de Mandelbrot es una representación de un plano complejo que muestra números complejos que cumplen ciertos criterios. Los números reales se trazan en el eje horizontal; Números imaginarios en el eje vertical. El algoritmo está en el conjunto de Mandelbrot.

Haga clic en este enlace para iniciar una animación de zoom.
Secuencia de mandelbrot

Answer 17

La razón profunda por la que se usan es un poco técnica: permiten expresar todas las raíces de los polinomios, es decir, resolver ecuaciones como [math] x ^ 2–3x + 7 = 0 [/ math]. Esto no siempre es posible con los números reales.

Por extraño que parezca, esta propiedad hace que muchos problemas importantes sean mucho más fáciles de resolver, como el estudio de sistemas dinámicos lineales. Por ejemplo, el comportamiento de un amortiguador en un automóvil, o la forma en que fluye la corriente alterna en los circuitos eléctricos.

La clave para comprender es que los números imaginarios solo se usan en cálculos intermedios, y al final solo se obtienen resultados reales.

Answer 18

Lee esto … es simple.

La respuesta más sencilla a su pregunta es que los matemáticos, científicos e ingenieros utilizan los números imaginarios para resolver problemas complejos.

¿Recuerda en la escuela secundaria que aprendió que un punto en un plano puede representarse con el “par ordenado” (x, y), donde x es la distancia del punto desde el origen en la dirección del eje x, e y es ¿La distancia desde el origen en la dirección del eje y?

Por ejemplo, el punto (3, 4) se ubicaría a 3 unidades del origen en la dirección x, y a 4 unidades del origen en la dirección y. (Por cierto, el eje x suele ser el horizontal y el eje y el vertical).

Los números imaginarios se pueden usar de manera similar para representar puntos en un plano.

El símbolo i se define como la raíz cuadrada de -1. No hay un número real que produzca -1 al cuadrado. Sin embargo, el número imaginario i cuando el cuadrado produce, por definición, produce -1.

Una vez definida la unidad imaginaria i, un par ordenado se puede representar de la siguiente manera:

(x, y) <===> x + iy

donde x + iy se llama un número complejo. Se dice que x es la parte real, y y la parte imaginaria del número complejo. Esta es una notación muy útil porque, dado que es una expresión algebraica, se le puede asignar una variable de la siguiente manera:

z = x + iy

La variable compleja z representa un punto en un plano.

Los números complejos se utilizan en varias ramas de las matemáticas. Las aplicaciones comunes incluyen análisis de señales, procesamiento de señales, teoría de control, electromagnetismo, dinámica de fluidos y mecánica cuántica.

Answer 19

Por favor vea series brillantes sobre números imaginarios de Welch Labs:

Los números imaginarios son reales [Parte 1: Introducción]

Answer 20

Ok, trataría de ser lo más laico posible.
El mejor ejemplo / aplicación práctica – Tus ojos y oídos.
“Nuestros ojos y oídos han realizado de forma subconsciente la Transformada de Fourier (FT) para interpretar las ondas de luz y sonido durante millones de años. Para formar una imagen en la retina, la lente del ojo realiza transformaciones de Fourier en la luz que ingresa”.
– Profesor Peter Moore, biólogo estructural de Yale y profesor de biofísica.
El siguiente mejor ejemplo / aplicación: su teléfono inteligente que tiene reproductores de MP3 y cámaras de video digitales. (Los algoritmos de compresión de audio y video se basan principalmente en FT)
Otros ejemplos prácticos – Mercados de valores (es decir, algoritmos de redacción para transacciones de alta frecuencia)
La regla del pulgar, donde quiera que vea el uso del Análisis de Fourier o la Transformada de Fourier, bajo el capó, los números “imaginarios” están trabajando para dar un valor “real” a su vida “compleja”.