¿Por qué la masa gravitacional es igual a la masa inercial?

Answer 1

Hay dos respuestas posibles (o más, pero esto es lo que pensé):

1. Porque la gravedad es en realidad geometría.
2. La masa gravitacional podría no ser igual a la masa inercial

Resumen :
La gravedad parece ser especial entre las fuerzas porque la relación carga-masa es idéntica para todos los tipos de materia. Esto sugiere que no es realmente una fuerza, sino una opción de aceleración del cuadro. La teoría matemática que describe esto es la relatividad general. La matemática subyacente es permitir que cada pequeño parche de espacio-tiempo tenga una vida propia, y la aceleración tiene que ver con la curvatura de este espacio (cuán diferentes son las vidas de los parches vecinos).
Hay experimentos en curso que buscan probar el principio de equivalencia, por lo que esta puede no ser una pregunta resuelta. Hasta ahora, los experimentos han puesto restricciones muy estrictas sobre la diferencia entre la relación carga / masa para diferentes materiales.

Algunos detalles más :
La masa inercial es la cantidad que entra en la ecuación de fuerza:
[math] f = m_i a \ quad (1) [/ math]
donde [math] f [/ math] es la fuerza, [math] a [/ math] es la aceleración, y [math] m_i [/ ​​math] es la masa inercial. A grandes rasgos, se podría pensar en medir la masa inercial de algún objeto aplicando una fuerza conocida, midiendo la trayectoria para determinar la aceleración y dividiendo para encontrar la masa inercial.

Hablemos de algunas leyes de fuerza para ver cómo responden las cosas diferentes a fuerzas diferentes. Aquí está la ley de fuerza para la electrostática:
[math] f = q E \ quad (2) [/ math]
donde [math] E [/ math] es el campo eléctrico y [math] q [/ math] es la carga eléctrica de alguna partícula. Observe que diferentes partículas pueden tener diferentes cargas eléctricas, algunas positivas, otras negativas y otras cero.
Aquí está la ley de fuerza para la gravedad:
[math] f = q_ {grav} g = m_ {grav} g. \ quad (3) [/ math]
Aquí, el campo gravitatorio es [math] g [/ math]. Para sugerir la similitud con la ley de fuerza para electrostática, he llamado a la constante de proporcionalidad entre fuerza y ​​campo la ” carga gravitacional ” de la partícula, [math] q_ {grav} [/ math], que típicamente llamamos gravitacional masa, [math] m_ {grav} [/ math]. Nuevamente, las diferentes partículas tienen diferentes masas (pero solo las positivas o cero).

Ahora, si combina la ecuación (1) con la ecuación (2) o (3), obtendrá una ecuación para la aceleración debida a cierta fuerza, ya sea electrostática o de gravedad. En ambos casos, obtiene un cargo a la relación de masa (inercial), [math] q / m_i [/ ​​math]:
[math] a = \ frac {q} {m_i} E \ quad (4) [/ math]
o
[math] a = \ frac {m_ {grav}} {m_i} g \ quad (5) [/ math]

Para la electrostática, se observa que esta relación de carga a masa es diferente para diferentes partículas: el electrón, el neutrón y el protón, por ejemplo, todos tienen relaciones de carga a masa muy diferentes. En gravedad, como aprendimos de Galileo, la proporción de “carga gravitacional” a masa inercial parece ser la misma (hasta donde sabemos) para todos los objetos.

Ahora, mirando hacia atrás en las ecuaciones (4) y (5), hay una diferencia importante si las partículas tienen la misma o diferente relación carga / masa. Considere una pequeña región donde el campo es casi constante. Lance algunas partículas de prueba en este campo, digamos un electrón, un protón y un neutrón. Si el campo es un campo eléctrico, las partículas acelerarán diferentes cantidades y en diferentes direcciones. Para el campo gravitatorio, todos se acelerarán de manera idéntica . La gravedad es especial en este sentido. Esto significa que solo al acelerarte a ti mismo, ¡no verías ninguna de esas partículas moviéndose en relación a ti! Moviéndote de la manera correcta, puedes ignorar completamente la gravedad. En ese marco, la gravedad no es una fuerza en absoluto.

Este es el principio sobre el cual se basa la Relatividad General. En una región del espacio lo suficientemente pequeña, donde el campo gravitatorio es básicamente constante, el efecto de la gravedad puede ignorarse al elegir el marco de forma adecuada. Si vas contra la voluntad de la gravedad, verás que las partículas se aceleran en relación con ti, pero en realidad eres tú quien acelera en relación con las partículas libres.

Para construir una teoría que haga esto sin una fuerza, Einstein tuvo que hacer que cada punto en el espacio tuviera su propia pequeña región donde puede haber un conjunto diferente de marcos libres, en relación con las regiones cercanas. Esto significa que la geometría del espacio puede ser deformada.

Ahora, la Relatividad General ha sido extremadamente exitosa en pruebas experimentales. Sin embargo, todavía es posible que la masa inercial y la masa gravitatoria no sean iguales. Esto puede suceder si algunos tipos de materia tienen un “acoplamiento” diferente a la gravedad que otros. Hay formas matemáticas para prescribir tal teoría, y si hay una única teoría que unifica la gravedad y las otras fuerzas, algunas personas creen que es probable que haya un acoplamiento “no mínimo”, que puede conducir a diferentes tipos de materia Teniendo una masa gravitacional e inercial diferente.

Hay varias pruebas de principio de equivalencia que tienen como objetivo probar si la masa inercial y la gravitatoria son realmente idénticas. Hasta ahora, han puesto límites muy estrictos en cuanto a qué tan cerca está la relación de masa gravitacional a inercial a 1 para diferentes composiciones. La proporción no puede ser diferente de 1 en más de aproximadamente [math] 10 ^ {- 13} [/ math] (del experimento del grupo Eot-Wash).

Answer 2

Hay una “prueba” del principio de equivalencia utilizando la teoría cuántica de campos. Los supuestos de partida son:

– la gravedad está mediada por una partícula sin masa spin-2
– el mundo está descrito por una teoría cuántica de campos con energías suficientemente bajas

Básicamente, se puede derivar la Relatividad General y las afirmaciones asociadas como “la gravedad es la geometría”, “la masa gravitacional es igual a la masa interial”, etc. El principio de equivalencia en particular se basa en argumentos sobre gravitones “suaves” (de baja energía) que Lo puedes encontrar en detalle en el libro de Weinberg en QFT, volumen 1. A grandes rasgos, el argumento es el siguiente:

Una partícula sin masa spin-2 se describe mediante un tensor simétrico sin traza [math] h _ {\ mu \ nu} [/ math], cuyos vectores de polarización están sujetos a una redundancia de calibre [math] \ epsilon _ {\ mu \ nu} (k ) \ sim \ epsilon _ {\ mu \ nu} (k) + a_ \ mu k_ \ nu + a_ \ nu k_ \ mu [/ math], donde [math] a_ \ mu [/ math] es cualquier 4-vector, [math] k_ \ mu [/ math] es el impulso, y [math] \ sim [/ math] significa “es equivalente a”. Esto pone una restricción de consistencia en las amplitudes [math] \ mathcal {M} ^ {\ mu \ nu} \ epsilon _ {\ mu \ nu} (k) [/ math] para la emisión de un gravitón con momento k y polarización [math ] \ epsilon _ {\ mu \ nu} (k) [/ math] que [math] \ mathcal {M} ^ {\ mu \ nu} k_ \ mu = 0 [/ math] (llamada “identidad de barrio”).

Ahora considere algún proceso de dispersión que involucre un montón de diferentes tipos de partículas con momenta p_i, y k_j: [math] \ phi_1 (p_1) \ phi_2 (p_2) \ dots \ to \ psi_1 (k_1) \ psi_2 (k_2) \ dots [ / math], y considera la amplitud para la emisión de un graviton de baja energía adicional, [math] \ phi_1 (p_1) \ phi_2 (p_2) \ dots \ to \ psi_1 (k_1) \ psi_2 (k_2) \ dots g ( k) [/ math]. En el límite de que el momento del gravitón se pone a cero, resulta que la identidad de Ward para esta amplitud implica [math] \ sum g_i p_i ^ \ mu = \ sum g_j k_j ^ \ mu [/ math], donde [math] g_i [/ math] es la “carga” gravitacional de la i-ésima partícula.

Ahora, la conservación de la energía y el impulso ya requiere [math] \ sum p_i ^ \ mu = \ sum k_j ^ \ mu [/ math], y para los momentos generales entrantes y salientes, esta condición es inconsistente con la identidad de Ward a menos que todo el gravitacional Los cargos [math] g_i [/ ​​math] son ​​iguales.

En otras palabras, una partícula spinless-2 sin masa debe acoplarse universalmente a todo, o sería inconsistente con la conservación de la energía y el impulso. A los físicos, les pido disculpas por omitir muchos detalles (de nuevo, recomiendo a Weinberg). Y para los laicos, pido disculpas por el uso de mucha maquinaria técnica. Me doy cuenta de que esto era probablemente bastante opaco. Pero pensé que aportaría esta respuesta porque realmente es la comprensión más avanzada de por qué se cumple el principio de equivalencia.