Esta pregunta implica hacerte 2 preguntas.
El primero:
1. ¿Soy ‘yo’ mi cuerpo?
y el segundo,
2. ¿Cómo se define ‘igual’?
La primera pregunta lo llevaría a un agujero de conejo, para hacer la distinción entre lo mental y lo físico . Los modelos filosóficos más aceptados acuerdan distinguir la mente del cuerpo o estar de acuerdo con la “dualidad”.
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Eso significa que mientras tu cerebro puede estar grabando recuerdos, encendiendo neuronas cuando sientes dolor o sumergido en un desbordamiento de hormonas cuando sientes amor, todas tus emociones se sienten en la mente, en tu espacio mental. 
Sus experiencias se acumulan para hacer su personalidad, que es su mente. Tu forma física renueva sus células y cambia, como mencionaste, pero con el paso de cada pequeño momento en el tiempo, la experiencia de pasar por ese momento cambia tu mente. Piénsalo de esta manera, si pudiéramos hacer un código hash de tu personalidad, de ti, nunca podría ser el mismo dos veces.
Ahora que hemos entendido eso, nos damos cuenta de que a medida que cambiamos cada momento, ¿significa eso que dejamos de ser nosotros mismos?
Ahí es donde entra la segunda pregunta.
Para medir cualquier cambio, necesitamos tener una referencia, algo que no cambie.
Cuando tu personalidad está cambiando en esa pequeña cantidad en cada momento, está cambiando la única referencia que podrías tener.
Entonces, en otras palabras, siempre eres la misma persona. Simplemente nunca eres la misma persona dos veces.
Espero que la última línea responda a la pregunta sin ser demasiado confuso.