La declaración “si y solo si” aparece a menudo en los libros de matemáticas. Qué significa eso? ¿Por qué no usamos ‘solo si’?

Solo para complementar la respuesta de Dali Metzker …

Él hace un buen trabajo al ilustrar la diferencia entre “si” y “si y solo si”, y cómo son “no solo si”. Pero aquí hay un buen ejemplo del significado positivo de “solo si”.

Considere una reacción química en la que los líquidos A y B reaccionan para formar un líquido C cuando se mezclan en un vaso de precipitados. Supongamos que esta es la única forma de obtener C: no hay reacciones químicas alternativas que en última instancia no impliquen mezclar A y B en un vaso de precipitados.

Esto es verdad:

  • “Cuando dos líquidos se mezclan en un vaso de precipitados, el resultado es el químico C solo si uno de los líquidos es B”.

Estos son falsos:

  • “Cuando dos líquidos se mezclan en un vaso de precipitados, el resultado es el químico C si uno de los líquidos es B”.
    • Puede haber otro químico D que, cuando se mezcla en un vaso de precipitados con B, no reacciona para formar nada.
  • “Cuando dos líquidos se mezclan en un vaso de precipitados, el resultado es el químico C si y solo si uno de los líquidos es B”.
    • Nuevamente, si uno de los líquidos es D, entonces no obtienes C.

Aquí hay otro ejemplo. Es lógicamente equivalente (como probablemente lo sean todos los ejemplos), pero a veces a las personas les gusta más esta.

Supongamos que hay un juego en el que un jugador gana puntos. Anotan puntos en unidades enteras y puntúan uno a uno. (En otras palabras, no puede obtener 10 puntos sin haber obtenido primero 9 puntos). El récord mundial para los puntos anotados es de 100.

Esto es verdad:

  • Un jugador batirá el récord mundial solo si anota 50 puntos.

Esto es falso:

  • Un jugador batirá el récord mundial si anota 50 puntos.

Similar…

Esto es verdad:

  • Si un jugador consigue 150 puntos, batirá el récord mundial.

Esto es falso:

  • Un jugador batirá el récord mundial si y solo si logra 150 puntos.
    • Un jugador puede anotar 101 puntos y aún así superar el récord mundial.

Es bastante simple, en realidad.

“P si Q” significa “Si Q, entonces P”, a veces escrito como [math] Q \ Longrightarrow P [/ math] o [math] P \ Longleftarrow Q [/ math]. Q es una condición suficiente para que P sea verdadera.

“P solo si Q” significa “Si P, entonces Q”, a veces escrito como [math] P \ Longrightarrow Q [/ math]. Q es una condición necesaria para que P sea verdadera.

“P si y solo si Q” significa “Si P, entonces Q. Por otra parte, si Q, entonces P”, a veces escrito como [math] P \ Longleftrightarrow Q [/ math]. Q es una condición necesaria y suficiente para que P sea verdadera.

Ejemplo:

“[Math] x [/ math] es par si [math] x ^ 2 [/ math] es par” significa “Si [math] x ^ 2 [/ math] es par, entonces [math] x [/ math] incluso.”

“[Math] x [/ math] es solo si [math] x ^ 2 [/ math] es par” significa “Si [math] x [/ math] es par, entonces [math] x ^ 2 [/ math ] incluso.”

“[Math] x [/ math] es parejo y solo si [math] x ^ 2 [/ math] es par” significa “Si [math] x [/ math] es par, entonces [math] x ^ 2 [ / math] es par. Además, si [math] x ^ 2 [/ math] es par, entonces [math] x [/ math] es par ”.

A2A, gracias.

Porque las dos construcciones son diferentes.

“A solo si B” significa “A implica B” (pero no necesariamente al revés).

“A si y solo si B” significa que A y B son lógicamente equivalentes; a saber, “(A implica B) y (B implica A)”: si ve que uno de ellos es verdadero, entonces el otro necesariamente será verdadero también.

Ilustraré la diferencia con un ejemplo a continuación.

“sólo si”

Si obtengo un 95% en el examen, obtendré una A para la clase. Básicamente, esto indica que si obtengo un 95%, terminaré con una A. Pero note algo, si obtengo una A, no significa que obtuve un 95%. El profesor puede haber curvado los grados; el maestro pudo haber sido amable y les dio a todos en la clase una A; el profesor puede haber cometido un error y accidentalmente me dio una A; Es posible que haya pirateado registros de la escuela y me haya dado una A. El punto es que puede haber un millón de otras razones por las que terminé con una A, y saber que obtuve una A no implica que obtuve un 95%. PERO si obtuve un 95% en el examen, entonces tengo garantizada una A. Eso es seguro.

“si y solo si”

Si y solo si obtengo un 95% en el examen, obtendré una A para la clase. Básicamente, esto indica que si obtengo un 95%, terminaré con una A. Y si obtengo una A, es porque obtuve un 95% en el examen. No hay otras posibilidades. El maestro no curvo la clase; No pirateé los registros escolares; De hecho, ni siquiera obtuve un 96%, 97%, 98% o cualquier otro grado. Si obtuve una A, es SOLAMENTE porque obtuve un 95%.

Ver la diferencia.

“Solo si” puede indicarse como: Si obtengo un 95% en el examen, obtendré una A para la clase.

“Si y solo si” puede indicarse como: Si obtengo un 95%, obtendré una A para la clase. Y si obtengo una A, es porque obtuve un 95% en el examen.

Crea una condición exclusiva. La declaración Si X> Y, entonces X = 10 le dice algo sobre el valor de X. Son 10 cuando X> Y. Sin embargo, también podría ser 10 cuando X <= Y porque la declaración no nos dice nada sobre el valor de X cuando X <= Y. La instrucción If, y solo si X> Y, entonces x = 10 nos dice que X es 10 cuando X> Y y en ningún otro caso es X = 10.

Es como decir “necesario y suficiente”. Algo debe cumplir con ese criterio y solo así puede implicar lógicamente algo más.

“Si llueve mañana, entonces me quedo en casa”.

Mañana viene y me encuentras en casa. ¿Eso significa que está lloviendo? Desconocido; porque no dije lo que hago si no llueve. Puede que me quede en casa a pesar de todo.

“Si y solo si llueve mañana, entonces me quedo en casa”. Ahora, si me ves en casa mañana, puedes estar seguro de que está lloviendo.