Como han señalado otros, la respuesta real a esta pregunta es que simplemente no puede; La parte más valiosa de obtener un título de posgrado, o incluso un título universitario, son las interacciones que tiene con sus compañeros, estudiantes más avanzados y profesores. Dicho esto, compilé una lista de lectura para mí que apunta a cubrir el material enseñado en la mayoría de los programas de maestría en matemáticas puras. Debo tener en cuenta que soy un aficionado, y aunque me siento bastante confiado con mi recomendación, es probable que haya algunos errores en mi respuesta. Tal es el costo de un estudio independiente.
En primer lugar, dado que la pregunta no especifica directamente los antecedentes del alumno, me referiré brevemente al conocimiento de requisitos previos que creo que es necesario para abordar la lista de textos de nivel de posgrado que sigue. En aras de la brevedad, no voy a enumerar los recursos para estas asignaturas de pregrado, pero si necesita orientación o recursos, no dude en preguntar.
Material fundamental con el que deberías sentirte muy cómodo:
Cálculo: cálculo elemental que incluye cursos en cálculo multivariable, ecuaciones diferenciales, variables complejas y análisis real.
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Álgebra: un curso de álgebra lineal elemental y un curso de álgebra lineal más avanzado (basado en pruebas), un curso de álgebra “moderna” basado en pruebas.
Otro (altamente recomendado, pero posiblemente no esencial): teoría básica de números, probabilidad y estadísticas, algún tipo de introducción a la topología, algún tipo de introducción a la geometría más avanzada.
Con este material de fondo fuera del camino, la habilidad principal que necesitará para abordar los siguientes textos es la capacidad de leer y escribir buenas pruebas. Debido a la falta de retroalimentación que recibirá en sus pruebas y porque escribir pruebas claras y lógicas es muy difícil, el principal problema que tendrá al tratar de estudiar de forma independiente las matemáticas de nivel de posgrado será el desarrollo de sus habilidades de escritura de pruebas. Si todavía no estás muy cómodo escribiendo pruebas, te recomiendo que leas “Cómo leer y hacer pruebas” de Daniel Solow, trabajo a través de libros de texto de pregrado en teoría de números elementales (Stein: es gratis), álgebra (Artin o Lang) y análisis real (bebé Rudin), y luego haga lo posible por encontrar a alguien que esté dispuesto a evaluar sus pruebas.
De todos modos, volvamos a tu pregunta.
Cumplí la siguiente lista de lectura para mí hace varios años. Hice esto mirando las listas de lectura sugeridas publicadas por varios departamentos de matemáticas bien conocidos en los Estados Unidos para sus exámenes completos / Ph.D. Exámenes de calificación. Luego leo reseñas en línea de muchos de los libros. La siguiente es la lista que decidí seguir, con algunas de mis notas incluidas.
Asignaturas obligatorias:
Análisis: Ya sea Folland o Rudin. El libro de Folland me parece un poco más fácil, pero el libro de Rudin tiene la ventaja de incluir un análisis complejo en todo momento. Le sugiero que trabaje en el libro de Rudin usando Folland como respaldo. También he usado el libro de análisis gratuito de Richard F.Bass. Es bastante fácil de seguir y excelente para cuando te atascas; sin embargo, no es tan completo como los otros libros. Continúe con un curso dedicado en análisis complejo o el “Análisis funcional” de Rudin.
Álgebra: no tengo tantas notas para este tema, pero finalmente decidí usar el Álgebra de Lang (no confundirlo con sus textos de álgebra de pregrado). También tengo una nota de que el libro de Hungerford es un buen texto estándar, pero no lo he usado yo mismo.
Topología y geometría: no he estudiado realmente topología o geometría, aparte de un poco que aparece en otras áreas; sin embargo, si lo hago, probablemente comenzaré con la “Topología” de Munkres y luego pasaré a la “Topología algebraica” de Hatcher. También buscaría un buen libro sobre geometría diferencial (lo siento, no tengo ninguna recomendación para esto) . Siendo realistas, si decido estudiar estas áreas, reevaluaré mis elecciones después de leer Munkres.
Muchos de los libros en esta lista contienen el material del tema principal y algunos temas más avanzados. Después de que te sientas competente con los temas principales, me concentraré en seguir con los temas que te resultaron interesantes, primero leyendo libros dedicados al tema y luego intentando leer artículos publicados. Si se siente bastante cómodo con estas cosas, probablemente esté en una etapa temprana de donde la investigación guiada se está convirtiendo en una posibilidad y se encuentra aproximadamente en el nivel de “Maestría”. Con una gran advertencia:
En última instancia, en algún momento de este proceso, tendrá que encontrar a alguien calificado para revisar su trabajo. Si bien comprender el material y escribir sus propias pruebas puede llevarlo lejos, no hay absolutamente ningún sustituto para un detector de mierda profesional. ¡Buena suerte!