¿Qué libros y referencias sugerirías para comprender la obra de Maryam Mirzakhani?

Answer 1

Ciertamente va a ser difícil. El sabor del trabajo de M. Mirzakhani es que estudia la geometría y la teoría ergódica en el espacio modular de las superficies de Riemann. Esto significa que tienes que aprender o al menos saber una gran cantidad de matemáticas. Por el contrario, algunos de los artículos de Manjul Bhargava se pueden leer casi de forma aislada. Entonces, explicaré cómo lo haría, con la precisión de que no soy un especialista en el tema.

En primer lugar, M. Mirzakhani escribió 14 artículos (según lo indexado por mathscinet) 2 de los cuales antes de su tesis doctoral sobre temas no relacionados. 7 de sus trabajos están disponibles en arXiv.org e-Print archive pero, en particular, su tesis doctoral no está disponible gratuitamente en línea. El enfoque directo es leer sus artículos y cuando algo no está claro para leer las referencias. Hace 15 años, lo mejor hubiera sido organizar un seminario entre varios estudiantes o, alternativamente, tener una persona informada para preguntar cuándo ocurren los problemas. Hoy en día, tienes MathOverflow, google, wikipedia, etc. cuando estás en problemas y esto lo cambia todo.

Por lo tanto, el objeto de estudio son variedades bidimensionales. Hay dos puntos de vista alternativos sobre ellos: uno como múltiples riemannianos con curvatura Gaussiana constante -1, y el otro como múltiples algebraicos complejos.

• En primer lugar, necesita conocer muy bien su geometría diferencial. El libro M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, Segunda edición, es básicamente todo lo que necesita para la parte geométrica riemanniana.
• El libro P. Griffiths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry es básicamente lo que necesita para el punto de vista complejo.
• Gran parte del trabajo de M. Mirzakhani es sobre geodésicos. Para geodésicos en superficies, puede consultar P. Buser, Geometry y Spectra of Compact Riemann Surfaces, que parece un libro razonable y también brinda información sobre los espacios de Teichmuller.
• Los tres libros C. Siegel, Topics in Complex Function Theory (Volumen 1, 2 y 3) son muy útiles, particularmente el segundo, que proporciona las variedades como cociente del disco de Poincaré por un grupo discreto de puntos fijos libres de automorfismo, dando así La estructura hiperbólica y compleja de una sola vez.

Esa fue la parte fácil. El siguiente paso es aprender sobre los espacios de moduli, los espacios de Teichmuller, etc. Para eso, aquí está lo que yo haría es lo siguiente:

• Lea el libro mencionado anteriormente por Buser, parece simple. De lo contrario, puede consultar J. Hubbard, Teichmuller Theory and Applications to Geometry, Topology, And Dynamics, que se parece a un buen libro.
• Busque información sobre el grupo de clases de mapeo. El espacio de módulos de las curvas es el cociente del espacio de Teichmuller por el grupo de clases de mapeo. Es posible que tenga dificultades con Teichmuller y los módulos, pero el grupo de clases de mapeo puede ser más fácil para usted.
• Para el punto de vista de la variedad algebraica, la referencia es E. Arbarello, M. Cornalba, P. Griffiths, Geometría de las curvas algebraicas, volumen I y II. No lo he leído, pero es probable que sea más fácil de lo que podría haber sido, el problema es el enorme tamaño.

Ahora nos estamos acercando al tema. Pero un requisito previo importante es la teoría ergódica. El problema es que el tipo de teoría ergódica a ver no es trivial.

• El libro G. Paternain, Geodesic Flows trata sobre la entropía topológica y el flujo geodésico. Esto se muestra en el trabajo de M. Mirzakhani, por lo que probablemente quiera lidiar con eso.
• El comienzo de la teoría ergódica dura es el trabajo de Margulis, su clásico es G. Margulis, Subgrupos discretos de grupos de mentiras semisímiles, pero creo que es extremadamente difícil de leer. Un libro más fácil es RJ Zimmer, Teoría ergódica y Grupos semisimples. Esas pueden o no ser útiles, pero probablemente quieras echar un vistazo.
• Finalmente, el trabajo clave fue realizado en los años 90 por Marina Ratner en la forma de los teoremas de Ratner. Los que aparecen en la introducción a la obra de M. Mirzakhani. Una vez más, puede o no estar relacionado. Pero probablemente quieras mirar. Es probable que una buena referencia sea DW Morris, los teoremas de Ratner sobre Flujo unipotente.

Esas son las referencias para echar un vistazo. Es probable que experimente múltiples problemas. Pero el punto positivo de este tema es que tendrá varias referencias para ver, varias personas para preguntar. El problema suele ser a la inversa: personas desaparecidas, referencias faltantes, errores en documentos, etc.