Actualmente estoy leyendo el Análisis complejo visual de Needham y he llegado a la parte que describe las multifunciones y las divide en funciones de valor único considerando las ramas. ¿Qué son las ramas?

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Muchas “funciones” de valor complejo tienen la complicación de que no son exactamente funciones en el sentido de que una sola entrada puede asignarse a múltiples salidas. Para solucionar este problema potencial, definimos varias “ramas” de la función para restringir la función a un solo valor en lugar de multivalor.

Para ser concretos, considere [math] f (z) = log (z) [/ math] – representando [math] z [/ math] en coordenadas polares que podemos derivar [math] f (z) = log | z | + iarg (z) [/ math] donde [math] log (.) [/ math] es la función familiar de valor real y [math] arg (z) [/ math] es el ángulo de [math] z [/ math] en polar Hay un número infinito de ramas para esta función (!) Desde [math] re ^ {i \ theta} = re ^ {i (\ theta + 2 \ pi k)} [/ math] para [math] k [/ math] un entero: cada valor de [math] k [/ math] nos da un valor diferente para [math] arg (z) [/ math] y, por lo tanto, una rama diferente. Por lo tanto, podemos enfocarnos en una sola rama: [math] 0 \ leq \ theta <2 \ pi [/ math] por ejemplo, para definir una función válida.

Asociado con una rama es un punto de ramificación: es un punto en el plano complejo, de modo que la función es discontinua si recorre el punto: en el caso [math] log (z) [/ math] vemos que 0 es un punto de ramificación ya que si “caminamos” alrededor de 0, llegamos a un ángulo de [math] 2 \ pi [/ math], ¡pero comenzamos en 0! (Por lo tanto, el componente imaginario de [math] log (z) [/ math] no es continuo, por lo que [math] log (z) [/ math] no es continuo.)