¿Qué libro sobre ecuaciones diferenciales ofrece una perspectiva diferente a ser una secuencia de técnicas de solución?

Answer 1

Me parece que está más interesado en las preguntas teóricas sobre la existencia y la singularidad de las soluciones a las ecuaciones diferenciales, en lugar de los métodos prácticos para resolverlas. La teoría es rica e interesante para las EDO, e incluso más rica y más profunda para las PDE, y existe una considerable cantidad de literatura sobre estos temas.

Una cosa que puede confundir al buscador casual es que gran parte de esta teoría no se llama “ecuaciones diferenciales”. Más bien, se llama “análisis funcional” o “teoría del operador” o algo así. La razón es que a partir de los resultados muy básicos, el punto de vista más fructífero adoptado para mostrar la existencia y singularidad de las soluciones a las DE es considerar el espacio de todas las funciones relevantes y estudiar el efecto de los operadores diferenciales en esos espacios. Las soluciones a las ecuaciones diferenciales se pueden ver como puntos fijos de dichos operadores, entre otras perspectivas.

Entonces, volviendo a la pregunta sobre libros: muchos libros sobre EDO y PDE contienen capítulos sobre la singularidad y la existencia de soluciones. El libro de texto de Teschl es un buen ejemplo y hay una versión gratuita en línea. También tengo buenos recuerdos de la Teoría de las Ecuaciones Diferenciales de Kelley y Peterson.

En una dirección diferente, puede disfrutar de las ecuaciones diferenciales ordinarias de VI Arnold, que se centra en los flujos integrales y es bastante pintoresco, a la vez que riguroso y profundo. Arnold es un verdadero maestro y aunque su escritura no es del gusto de todos, definitivamente debes darle una oportunidad.

Aquí hay otra monografía que encontré en línea, y aunque no estoy familiarizado con ella, creo que debería ayudarlo a comprender la relación entre el análisis funcional y las ecuaciones diferenciales.

Answer 2

Me pregunto si tal vez el autor de esta pregunta haya querido una exposición de la teoría de las ecuaciones diferenciales que explique de dónde provienen los muchos trucos y técnicas ingeniosos tan prominentes en un primer curso del tema, y ​​por qué funcionan.

El deseo de proporcionar una explicación satisfactoria de estos dispositivos aparentemente ad hoc fue un gran impulso en la vida del gran geómetro noruego Sophus Lie. En términos generales, Lie trató de hacer para las ecuaciones diferenciales lo que Galois había hecho para las ecuaciones polinomiales; quería crear para ellos una teoría coherente de la solvencia, que mostrara exactamente por qué ciertas ecuaciones diferenciales eran susceptibles de ser resueltas mediante ingeniosos trucos y técnicas, mientras que otras no.

El único libro de texto que conozco que hace justicia al trabajo profundo y de largo alcance de Lie sobre este problema es “Aplicaciones de los grupos de mentiras a las ecuaciones diferenciales” de Peter Olver, que, aunque es muy interesante y atractivo, está dirigido a una audiencia de Los estudiantes avanzados de posgrado (y por lo tanto no se alejan de la maquinaria de los paquetes de aviones a reacción, las prolongaciones, los complejos variacionales, etc.) Me temo que sería de poca utilidad para el estudiante principiante de las ecuaciones diferenciales.

Aún así, es un libro invaluable, y creo que vale la pena citarlo a partir de su introducción, que debería dar un buen sentido de su estilo e intención:

“Cuando los estudiantes principiantes se encuentran por primera vez con ecuaciones diferenciales ordinarias, a menudo se les presenta una asombrosa variedad de técnicas especiales diseñadas para resolver tipos de ecuaciones particulares, aparentemente no relacionados, como las ecuaciones separables, homogéneas o exactas. De hecho, esto fue El estado del arte a mediados del siglo XIX, cuando Sophus Lie hizo el descubrimiento profundo y profundo de que estos métodos especiales eran, de hecho, todos los casos especiales de un procedimiento de integración general basado en la invariabilidad de la ecuación diferencial bajo un grupo continuo de simetrías. Esta observación, a la vez, unificó y extendió significativamente las técnicas de integración disponibles e inspiró a Lie a dedicar el resto de su carrera matemática al desarrollo y aplicación de su teoría monumental de grupos continuos. Estos grupos, ahora universalmente conocidos como Los grupos de mentiras, han tenido un profundo impacto en todas las áreas de las matemáticas, tanto puras como aplicadas, como w Ell como física, ingeniería y otras ciencias basadas en matemática. La aplicación de los grupos de simetría continua de Lie incluye campos tan diversos como topología algebraica, geometría diferencial, teoría invariante, teoría de la bifurcación, funciones especiales, análisis numérico, teoría de control, mecánica clásica, mecánica cuántica, relatividad, mecánica de continuidad, etc. Es imposible exagerar la importancia de la contribución de Lie a la ciencia y las matemáticas modernas “.

También podría mencionar al concluir que la historia del progreso de Lie hacia una teoría de la solvencia para las ecuaciones diferenciales es en sí misma una historia fascinante, que ha sido bellamente narrada por Thomas Hawkins en su monumental tomo, “Emergencia de la teoría de los grupos de la mentira: una Ensayo en la historia de las matemáticas 1869-1926 “.