¿Cómo se forma un nodo en ondas estacionarias?

Answer 1

Las ecuaciones diferenciales describen cómo una cosa cambia en relación con otra cosa. Por ejemplo, puedes correr el doble de rápido que yo. Pero eso no dice nada sobre dónde cuando realmente corremos. Ese conjunto masivo y posiblemente infinito de comportamientos que usted y yo podemos realizar se llama la solución de la ecuación. Bueno, esa es una solución bastante general con la que estarás de acuerdo.

Ahora podría hacer una ecuación diferencial más intrincada, de modo que usted acelere cuando disminuyo la velocidad, y mientras más lento vaya, más difícil será acelerarlo, cosas como esas. Una vez más, hay una gama de soluciones posibles que satisfacen la ecuación.

Ahora podría hacer todo tipo de problemas de esta configuración. Podría decir ok si empiezo con x, y tú empiezas con y, entonces, ¿qué sucede? O si empiezas con x, ¿puedo llegar a y? Cosas como esas.

Este tipo de información que reduce el conjunto de posibles soluciones se denomina condición de límite.

Aquí hay un ejemplo simple, el agua fluye en una tubería, y en el centro de la tubería la velocidad es x. Pero la velocidad del agua en la superficie interior de la tubería es en realidad cero. Sí, los líquidos no se deslizan sobre los sólidos y generan fricción, sino que se adhieren a ellos. Los líquidos se deslizan sobre ellos, y eso depende de algo que llamamos viscosidad. Así que terminas con un “perfil” de velocidad en una tubería. Las condiciones de contorno son impuestas por la tubería y determinan el rango de soluciones para sus ecuaciones de flujo.

Ahora las ondas son efectivamente también solo un conjunto de ecuaciones diferenciales. Para encontrar soluciones también imponemos condiciones de contorno. Un electrón es una pequeña “partícula” ligera que se atrae a un núcleo positivo. Esa unión a un potencial central es una condición límite, de la misma manera que una tubería determina qué flujos sucederán. Entonces, la idea básica de un nodo es simplemente una imposición en primer lugar.

Toma una cuerda de guitarra vibrante. La condición límite puede ser que la cadena esté fija en ambos extremos. Entonces obtenemos modos de vibración, armónicos en la cuerda. Pero ¿y si uno de los extremos era libre? ¿O ambos extremos?

¿Alguna vez has agarrado una varilla larga en el medio y la has movido hacia arriba y hacia abajo? Obtienes nodos a lo largo de su longitud. De hecho, la condición límite crucial es, de hecho, que la barra tiene una longitud finita. Los nodos en este caso pueden aparecer no en los extremos libres, sino entre los extremos. Dependen de la frecuencia y la longitud de la barra, y de la rigidez de la barra. Aquí hay una simple ilustración en 2D.

La bandera plantada por los astronautas en la luna también osciló como esta tabla, causando un poco de emoción entre la franja lunática para afirmar que se agitaba en una brisa. No digas más.

Así que ahí lo tienen. Cuando impone restricciones en las ecuaciones diferenciales, las soluciones permitidas se pueden cuantificar para que los enteros aparezcan en las soluciones.

Sacar números de las matemáticas continuas y viceversa, tiene una rica tradición. Todo lo relacionado con las funciones cíclicas también se relaciona con las funciones exponenciales y las series de términos espectrales. El proceso de inversión relaciona estas ideas, por lo que no es un misterio.

Por lo tanto, encontrar puntos donde nada se mueve es una consecuencia de las matemáticas y las condiciones de los límites.

Un nodo estacionario también se puede describir por la interferencia de dos ondas “atrapadas” que actúan en contra y se mueven en direcciones opuestas con una interferencia destructiva constante en algún punto. Esos puntos nodales están relacionados geométricamente entre sí, en el caso más simple son múltiplos de la longitud de onda.

La idea de ondas opuestas que se mueven en contraposición es similar a la idea de fuerzas iguales y opuestas de cada lado de una placa que es lanzada por partículas en ambos lados. El impulso fluye a través de la placa de manera igual y opuesta, por lo que no tiene fuerza neta sobre ella. Del mismo modo, un orbital en hidrógeno no tiene momento angular neto.

Aquí está el hexágono en Saturno para cerrar con

Answer 2

Matemáticamente, es sencillo mostrar que una onda viajera que se mueve hacia la derecha interferirá con una onda viajera idéntica que se mueve hacia la izquierda y, como resultado, establece una onda estacionaria. Los nodos , por supuesto, son los puntos a lo largo de la onda estacionaria donde se cancelan exactamente las dos ondas opuestas. Y hay muchos ejemplos diferentes (ya mencionados aquí) de ondas estacionarias: ondas estacionarias en cuerdas tensas, ondas de sonido estacionarias en tubos, etc. Pero lo difícil es ver que esas ondas estacionarias son creadas por dos ondas viajeras de la Misma frecuencia moviéndose en direcciones opuestas.

Pero hay una demostración muy ilustrativa de que eso se puede hacer con un slinky común. Así es cómo:

Toma un slinky metálico bastante largo. Y colóquelo en el piso, preferiblemente un bonito piso encerado o de linóleo, como en un salón de clases o en un laboratorio. Pídale a alguien que sostenga un extremo del slinky contra una pared justo al nivel del piso. Ahora estira el slinky una distancia bastante larga a través del piso. Esa es la configuración.

Ahora agite el slinky solo una vez horizontalmente para enviar un pulso que se propague por el slinky estirado hacia la pared. Mira lo que hace cuando golpea la pared. Dado que el otro extremo está fijo (mantenido en su lugar por la otra persona), ese pulso se refleja en la pared e invierte la dirección de su desplazamiento cuando se dirige hacia usted (es decir, sufre un cambio de fase de 180 ° al reflexionar).

A continuación, sacuda su extremo del slinky, por ejemplo, tres veces, y observe cómo una onda sinusoidal de tres jorobas desciende por el slinky hacia la pared. Nuevamente, mira lo que pasa cuando golpea la pared. Pasará por tres vibraciones muy vigorosas a medida que la onda sinusoidal reflejada regresa hacia usted y pasa a través de la onda sinusoidal incidente. Ese es el comienzo de una onda estacionaria.

Finalmente, agite el slinky continuamente hacia adelante y hacia atrás para crear una “onda sinusoidal” continua que se desplaza hacia la pared, y simplemente continúe agitando el slinky. Observe cómo la onda sinusoidal reflejada viaja en dirección opuesta a la onda sinusoidal incidente. (No requiere casi ninguna habilidad. ¡Incluso yo puedo hacerlo!)

¡He aquí una ola de pie! Una onda estacionaria se establecerá en el slinky por las dos ondas sinusoidales interferentes, ¡exactamente como lo dice el argumento matemático!

Utilicé un signo de exclamación como si me sorprendiera ese resultado. Pero claro que no lo era, porque confiaba en el argumento matemático. Agregue dos ondas viajeras idénticas de la misma frecuencia pero viajando en direcciones opuestas, y el resultado es una onda estacionaria.

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Bueno. Aquí hay una ventaja, mientras estás en el piso con tu slinky. (¡Eso casi suena sucio por alguna razón! Lo siento.) Slinky tiene muchas propiedades interesantes. Aquí hay uno en el que probablemente no hayas pensado. Estira el slinky hasta la mitad de la habitación y envía un pulso al extremo fijo contra la pared. Cuánto tiempo tarda el pulso en viajar (ya sea hacia la pared o hacia la pared y hacia atrás, no importa). Ahora duplica la longitud del slinky y hazlo de nuevo. Cuando se estira más, el pulso viaja más rápido, pero también viaja más lejos de tal manera que toma exactamente la misma cantidad de tiempo. Es decir, ¡el tiempo que tarda el pulso en recorrer la longitud del slinky y back es independiente de hasta qué punto se estira el slinky ! (Esta vez, merece el signo de exclamación.)

Tu tarea: muestra por qué ese resultado debe ser verdadero.

[Necesita algunas suposiciones: suponga que el slinky es una leyenda de Hooke. Suponga que la “longitud de descanso” del slinky relajado es insignificante en comparación con la longitud estirada, es decir, solo suponga que la longitud y la longitud estirada son las mismas.] Diviértanse. Confía en tu trabajo. (Sugerencia: lo que realmente está haciendo es mostrar que la velocidad de la onda es proporcional a la longitud estirada del slinky, que usted asumió que es la longitud del slinky).

Answer 3

Una onda estacionaria se forma cuando dos ondas de longitud de onda (o frecuencia) similares y que viajan en direcciones opuestas entre sí en el mismo medio interfieren,

En los puntos de interferencia destructiva, es decir, cuando la cresta (amplitud máxima) de una onda coincide con el canal (amplitud mínima) de la onda opuesta, se forma un nodo que tiene un desplazamiento cero

Answer 4

Cuando una onda alcanza un límite reflectivo en un múltiplo de la mitad de la longitud de onda de la onda, se reflejará e interferirá con la onda que se aproxima. En ciertos puntos (nodos), la onda reflejada y la onda que se aproxima están exactamente desfasadas, por lo que se cancelan perfectamente dando un punto de amplitud 0.

Answer 5

Las ondas estacionarias son la superposición de dos ondas de la misma frecuencia y longitud de onda que se propagan en direcciones opuestas, como cuando rebotan entre los extremos cerrados de un tubo de órgano o dos puntos fijos en una cuerda de guitarra.

Answer 6