Me considero un finitista, y al menos puedo decirte lo que personalmente pienso sobre el tema. No he encontrado a nadie más que se considere un finitista para hablar de esto, por lo que no puedo decirle lo que nadie más piensa al respecto.
La razón por la que las personas llaman a esta pregunta una cuestión de “filosofía” en lugar de “matemáticas” es que tiene que ver con lo que considera el criterio de existencia en el ámbito de los conceptos abstractos, como los números y los conjuntos. La mayoría de los matemáticos, a mi entender, sostienen que todo lo que no contradice los axiomas estándar de las matemáticas existe . Personalmente sostengo que solo existen las cosas que tienen una descripción finita .
A mi entender, este es el principio general propuesto por los finitistas. Para decirlo más directamente, si me dice que existe un conjunto, no estaré de acuerdo con usted a menos que pueda decirme alguna regla para determinar qué contiene el conjunto y qué no . Y dado que todo el punto de la teoría de conjuntos es definir todo lo demás en matemáticas en términos de conjuntos, este principio se aplica a la totalidad de las matemáticas.
No soy un “finitista estricto” que cree que solo las cosas que son realmente finitas existen. Estoy dispuesto a aceptar la existencia de cosas fundamentalmente infinitas, como el conjunto de enteros en su totalidad o la raíz cuadrada de dos. Me parece que en nuestros intentos de modelar el Universo como un sistema lógico comprensible, excluir cosas como los enteros o la raíz cuadrada de dos hace esta tarea innecesariamente difícil. Solo requiero, como se indicó anteriormente, alguna regla para determinar exactamente lo que realmente contiene un conjunto o sistema infinito en particular, o algún procedimiento que, si se permite que se ejecute para siempre, finalmente lo genere todo.
Entonces, volviendo a mi primer ejemplo, podemos generar los enteros positivos usando un procedimiento finamente descrito: “contar 1, 2, 3, … y continuar hasta que se le indique que pare”. Más precisamente: dado cualquier n, no importa cuán grande sea, podemos generar los primeros n enteros positivos aplicando este procedimiento durante un tiempo finito. De manera similar, hay varios algoritmos conocidos por los cuales se pueden producir los dígitos de la representación decimal de la raíz cuadrada de dos. Nuevamente, dada cualquier n, no importa qué tan grande sea, podemos generar los primeros n dígitos de la raíz cuadrada de dos aplicando uno de estos algoritmos durante un tiempo finito. Por lo tanto, me parece razonable afirmar que estas dos cosas realmente existen, aunque nunca se puedan producir o enumerar por completo en un lapso de tiempo finito.
No tengo ninguna objeción a casi toda la teoría de conjuntos, que es un sistema perfectamente bueno para razonar sobre objetos matemáticos y es la base de nuestra comprensión moderna de las matemáticas. Sin embargo, hay algunas partes de la misma que contradicen el principio que mencioné anteriormente. Las dos partes más problemáticas son:
- El axioma de elección
- El conjunto de axiomas de poder
El primero de ellos, el Axioma de elección, está claramente en contradicción directa con el principio de Descripción Finita. Afirma explícitamente la existencia de conjuntos infinitos para los cuales no se da ningún procedimiento o posiblemente se puede dar para determinar cuáles son sus contenidos reales. Por esta razón, lo rechazo absolutamente y cualquier resultado que lógicamente dependa de ello. No estoy impresionado en absoluto por los argumentos a su favor que he escuchado de los matemáticos, que se reducen a “¡Pero las matemáticas serían mucho menos convenientes sin eso, y hay tantas cosas que no podríamos demostrar!” Probar la existencia de cosas que realmente no existen no es mejor que construir castillos en el aire. Pero yo mismo no soy matemático (soy informático) y estoy seguro de que la mayoría de los matemáticos consideran esto como un punto de vista ignorante y arrogante.
El problema con el Axiom of Power Set es un poco más sutil. Claramente, para cada conjunto finito, existe un conjunto de poder bien definido. El problema surge cuando intenta establecer qué contiene realmente el conjunto de potencias de un conjunto infinito (es decir, los enteros). El conjunto de potencias de los enteros ciertamente debe contener todos los posibles conjuntos finitos de enteros, y estos pueden ser generados por un procedimiento finamente descrito. Pero también debe contener todos los posibles subconjuntos infinitos de los enteros, y la ambigüedad viene en la definición de la palabra posible . La mayoría de los matemáticos consideran que “todos los subconjuntos infinitos posibles” incluyen cada secuencia aleatoria infinita que podría generarse a partir de los enteros. Rechazo este punto de vista e insisto en que “todos los subconjuntos infinitos posibles” incluyen solo los subconjuntos que realmente existen , lo que de acuerdo con el principio que mencioné anteriormente significa solo aquellos que se pueden enumerar mediante un procedimiento finamente descriptible. *
Esta restricción tiene algunas consecuencias importantes, y lo más importante es que el conjunto de potencias de los enteros (o cualquier conjunto infinito) tiene la misma cardinalidad que los enteros mismos. De hecho, el principio de Descripción Finita implica que si tomas la unión de todos los conjuntos que posiblemente puedan existir , este conjunto todavía tiene la misma cardinalidad que los enteros. Esto se debe a que el conjunto de todas las descripciones finitas que posiblemente podrían existir tiene la misma cardinalidad que los enteros, y una unión de conjuntos contables infinitos es contable infinitamente. En resumen, este principio implica que no existe tal cosa como “infinitamente infinito”. Algunos conjuntos son finitos, otros infinitos y tienen la misma cardinalidad que los enteros. Eso es. La mayoría de los matemáticos dirían que esta concepción de las matemáticas es limitada y aburrida, y pueden tener razón, pero para mí tiene la virtud de tener alguna conexión con la realidad.
Ahora he escrito una respuesta mucho más larga de lo que pretendía y me detendré aquí, pero doy la bienvenida a los comentarios.
* Nota: el procedimiento “elegir un entero aleatorio y repetir hasta que se le indique que se detenga” no cuenta. No hay bases para la aleatoriedad en las matemáticas . La verdadera aleatoriedad proviene solo del mundo físico, y ni siquiera sabemos si el Universo físico está limitado por el espacio y el tiempo, o si tiene un límite inferior para la resolución espacial y temporal. Así que no hay base para una “secuencia infinita de dígitos aleatorios” en física o matemáticas. En consecuencia, no acepto que tal cosa exista realmente.