¿Por qué es imposible encontrar un único triplete pitagórico primitivo (en enteros positivos) con todos los términos como números poderosos? Aprendiendo y Estudiando para siempre

¿Podemos probar que es imposible que exista un trillizo pitagórico poderoso?

No sé lo suficiente acerca de las pruebas para encontrar una prueba, pero creo que puedo probar por qué creo que no existe. Tal vez esto te dará una idea de cómo intentar una prueba.

Los Números poderosos son números que son productos de cuadrados perfectos Y cubos perfectos. Debemos tener en cuenta que esto incluye números que son cuadrados perfectos O cubos perfectos (porque 1 es un cuadrado perfecto y un cubo perfecto), y no es tan sorprendente, los números que son quintas potencias, séptimas potencias, novena potencias y otras potencias de números enteros (por qué ¿Es esto cierto? Te lo dejo a ti.

Cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, etc.
Cubos perfectos: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, etc.
Quintos perfectos: 1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807, 32768, etc.
Números poderosos: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 4 · 8 = 32 , 36, 49, 64, 9 · 8 = 72 , 81, 100, 4 · 27 = 108 , 121, 125, 16 · 8 = 128 , 144, 169, 196, 25 · 8 = 200 , 216, 225, 9 · 27 = 243 , 4 · 64 = 256 , etc.
Hay un número infinito de números poderosos .
Cada número poderoso puede escribirse como (m²n³) donde m y n son números enteros.

Los triples pitagóricos son conjuntos de números enteros que describen triángulos rectángulos como {3,4,5}, {5, 12, 13}, {7, 24, 25} y {8, 15, 17}. Cada Triple de Pitágoras satisface la Ecuación de Pitágoras:

a² + b² = c²

Los poderosos triples pitagóricos deben, como resultado, satisfacer esta ecuación pitagórica revisada:

(a²b³) ² + (c²d³) ² = (e²f³) ²
[math] a ^ 4b ^ 6 + c ^ 4d ^ 6 = e ^ 4f ^ 6 [/ math]

Francamente, me cuesta imaginar que exista tal triple, pero no puedo encontrar una manera de probarlo. Estas son algunas de las preguntas que intentaría responder matemáticamente:

¿Es posible para [math] a ^ 4 + c ^ 4 = e ^ 4 [/ math] ?
¿Es posible para [math] b ^ 6 + d ^ 6 = f ^ 6 [/ math] ?
Pero necesitamos responder la misma pregunta para otros arreglos:

[math] a ^ 4 + c ^ 4 = f ^ 6 [/ math]
[math] b ^ 6 + d ^ 6 = e ^ 4 [/ math]
[math] b ^ 6 + c ^ 4 = e ^ 4 [/ math]
[math] b ^ 6 + c ^ 4 = f ^ 6 [/ math]

Incluso si probamos que todo esto es imposible (y no sé que esto sea verdad), eso no prueba que no existan tales PPT .

Mientras tanto, tengo un programa BÁSICO ejecutándose en segundo plano para ver si puede encontrar algunas respuestas. Hasta ahora, no ha encontrado ninguno, pero eso podría significar que hay un error en mi programa. Busca respuestas y busca respuestas “casi” (si busca en cc y dd en la lista de mi programa, encontrarán respuestas donde [math] a ^ 4 \ cdot b ^ 6 + cc ^ 2 \ cdot bb ^ 3 = e ^ 4 \ cdot f ^ 6 (donde aa y bb son variables diferentes de a y b, lo cual está permitido en BASIC).

Aquí está mi programa, en caso de que alguien vea un error, o quiera mejorarlo:

Si lo demuestra, de una forma u otra, deje un comentario aquí para que el resto de nosotros podamos disfrutar de los frutos de su labor.