¿Es significativo asignar un valor de verdad (para decir si es verdadero o falso) a una declaración que es independiente en ZFC?

Answer 1

¡Si o no! Pero, como se puede ver en esa respuesta, estás en una pendiente resbaladiza …

Sí , porque por definición una declaración es indecidible en cualquier sistema axiomático formal (incluyendo ZFC) si:

ni él ni su negación pueden ser probados en el sistema.

Por lo tanto, la declaración, o su negación, se puede agregar al sistema para hacer un sistema más grande en el cual la declaración se puede probar (trivialmente) (y por lo tanto es “verdadera”). Estrictamente hablando, la declaración es independiente del sistema formal en lugar de indecidible (que tiene un significado técnico ligeramente diferente como problema de decisión).

No , porque solo estamos jugando con símbolos formales, ninguno de los cuales tiene algún “significado” hasta que lo asignamos. Si el significado que queremos afirmar es algo como:

una declaración es verdadera si y solo si se puede probar en ZFC.

Entonces no tiene sentido asignar un valor de verdad a algo como la Hipótesis Continua que es independiente de ZFC.

Así que la respuesta se reduce a cómo se asigna “significado” a “verdadero”. Como dije, esa es una pendiente resbaladiza, amada por los filósofos y, en general, es eludida por los formalistas. La posición generalmente adoptada en los sistemas axiomáticos formales, incluida la ZFC, es que las declaraciones probadas son meramente contingentes en las suposiciones de que:

• Los axiomas son verdaderos;
• La lógica es válida; y
• El sistema es consistente.

La “verdad” real, sea lo que sea, se deja a los filósofos.

Answer 2

En lugar de dar una respuesta de sí o no, déjeme explicarle qué sucede y luego las cosas deberían ser más claras. Tenga en cuenta que la palabra que desea es “independiente”, no “indecidible”, es un término para algo diferente (aunque relacionado) en informática.

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ZFC es una “teoría” o, en otras palabras, una lista de axiomas. Tomemos una teoría diferente, la teoría de los grupos. En otras palabras, la lista de axiomas que un grupo satisface.

Dada una afirmación sobre los grupos, algunos pueden probarse a partir de los axiomas: por ejemplo,

“Para todos a y b , si ac = bc para algunos c entonces a = b “.

Algunos no pueden probarse a partir de los axiomas porque contradicen los axiomas:

“Existen algunos a y b tales que [math] ac \ neq b [/ math] para todo c “.

Algunos no pueden probarse a partir de los axiomas porque son independientes de los axiomas:

“Para todos a y b , ab = ba ”

Esta afirmación es cierta en algunos grupos y no en otros.

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Un modelo de ZFC se denomina “teoría de conjuntos” y las teorías de conjuntos son objetos matemáticos tal como lo son los grupos; solo tienen proposiciones como [math] \ in [/ math] y [math] \ subseteq [/ math] en lugar de operaciones como la multiplicación de grupos.

Al igual que podemos tener una afirmación que es cierta para algunos grupos y falsa para otros, podemos tener una afirmación que sea cierta para algunas teorías establecidas y falsa para otros.

Ahora, cuando pregunta si tiene sentido asignar un valor de verdad a estas afirmaciones, no estoy seguro de cómo responder a eso. Pero tiene la misma respuesta que la siguiente pregunta, mucho más concreta:

“¿Tiene sentido asignar un valor de verdad a las afirmaciones, como” la operación es conmutativa “, que son independientes de la teoría de grupos?”

Answer 3

A2A:

Sí, es significativo. Llamemos a su declaración indecidible U. Si define U como verdadera, entonces esencialmente está agregando U al conjunto de axiomas de ZFC. Acabas de crear ZFCU. ¡Felicidades! Ahora puede usar ZFCU para probar cosas que no eran demostrables en ZFC.

El único problema con esto es si ZFCU tiene algún valor para la comunidad matemática. Podría darse el caso de que agregar U a ZFC no tenga valor y no genere ningún interés. Tendrá que convencer a los demás de que la cuestión de U es importante para resolver. Si tienes éxito en eso, entonces, felicidades, tienes un papel.

Answer 4

Sea O una oración que es indecidible en ZF (o ZFC). La indecidibilidad nos dice que ni O ni ~ O se pueden demostrar a partir de ZF (o ZFC). ZF es una teoría, pero puede considerarse como un conjunto de modelos en los que los axiomas de ZF son verdaderos. Ahora, al asignar O un valor de verdad, se divide este conjunto de modelos en dos componentes no vacíos: uno que consiste en modelos para ZF + O, el otro en modelos para ZF + (~ O). Así que el significado que buscas se reduce a los modelos. Además, tenga en cuenta que un modelo determina una teoría completa (es decir, cada frase es verdadera o falsa en cualquier modelo dado).

Answer 5

Sí. Los matemáticos lo hacen implícitamente todo el tiempo. Como ya sabrá, el teorema de incompletitud de Gödel establece que incluso la declaración Con (ZFC) que afirma la consistencia de ZFC es independiente de ZFC. Pero siempre asumimos implícitamente que ZFC es consistente porque de lo contrario, ninguna prueba en ZFC tendría ningún significado.