La paradoja arquetípica es la siguiente oración: “Esta oración es falsa”. No puede ser ni verdadero ni falso. Su primo cercano es “Esta oración es verdadera”. Este es indecidible usando las reglas de la lógica formal: si es cierto, es verdadero, si es falso, es falso, y en ningún caso hay una contradicción.
Las “oraciones” construidas de manera similar en la teoría de los números son la base del teorema de incompletitud de Gödel: Kurt Gödel fue el matemático que primero demostró que un sistema de axiomas “suficientemente completo” (lo que significa que puede referirse a sí mismo) necesariamente contiene tales afirmaciones que son: Autocontradictorio o indecidible. En otras palabras, cualquier sistema matemático de axiomas tiene teoremas que son indecidibles.
También está estrechamente relacionado el problema de la detención de Turing, que responde a la pregunta sobre la existencia de algoritmos para todos los problemas bien definidos. El problema, en este caso, es que, dada una secuencia de instrucciones de computadora (es decir, un programa), ¿podemos saber siempre si ese programa se ejecuta para siempre o termina? Supongamos que se puede hacer. Luego escribimos un programa que termina si lee otro programa que no termina; y no termina si lee otro programa que termina. Ahora alimente la secuencia de instrucciones de este programa como entrada para sí mismo y vea qué sucede.
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