¿Cuál es la lógica (no la explicación matemática) detrás de P (A / B) P (B) = P (A intersección B)?

Answer 1

Ω es el mundo, el espacio de todos los eventos posibles. Por definición, su probabilidad (puedes visualizarlo como un círculo rojo, incluso debajo de otros círculos) es uno.

Ω = 1

¿Qué son P (A) y P (B)? Simples son las superficies de los círculos azul y amarillo. Por definición, son partes de todos los eventos posibles del mundo, de aquí en adelante más pequeños que 1. La parte verde está en círculos amarillos y azules, es la intersección de A y B y esta es la parte del mundo donde A y Ocurren los eventos B

Ahora vamos a cambiar el mundo. Por qué ? Debido a que tenemos una nueva información, el evento B realmente sucedió. Lo que queda del mundo es Ω ‘porque ahora sabemos que toda la parte restante de nuestro dibujo es simplemente imposible, porque este es el mundo donde B no sucede.

P (A / B) significa la probabilidad del evento A en el mundo where ‘donde B realmente ocurrió.

En ese punto, el significado de la fórmula anterior debería ser obvio.

P (una intersección B) es la relación de la superficie verde (el corte) y la superficie roja (círculo rojo completo)
P (A / B) es la ración de la superficie verde (el corte) y la superficie amarilla (círculo amarillo completo)
P (B) es la proporción de la superficie amarilla (círculo amarillo completo) y la superficie roja (círculo rojo completo).

Ahora debería ser obvio por qué la fórmula anterior es verdadera
La parte roja desaparece porque es 1 por definición.
La parte amarilla se simplifica.
Solo queda verde, es verde.

Answer 2

La siguiente es una forma elemental de ver el teorema que preguntaste, que puede brindarte cierta intuición.

Imagina que tienes 100 canicas, cada una de las cuales puede contener varios colores. Supongamos que 80 de las canicas contienen el color A, 50 que contienen el color B y 40 que contienen los colores A y B.

Las posibilidades, P (B), de elegir una canica que contenga el color B es del 50%. Las posibilidades, P (A, intersección B), de elegir una canica que contenga los colores A y B son del 40%.

¿Cuáles son las posibilidades de elegir una canica que contenga color A, dado que también contiene color B? Es decir, ¿qué es P (A / B)?

En este caso, nuestra muestra de 100 se ha reducido a priori a 50, es decir, aquellas canicas que contienen color B. De estas 50 canicas, 40 contienen el color A. Por lo tanto, las posibilidades de elegir una canica que contiene el color A, dado que también contiene color B, es 40/50, o 80/100.

En otras palabras, P (A / B) = P (A intersección B) / P (B)

Answer 3

Es la forma en que pensamos en una intersección B. La única forma en que lo calculamos es usar esta fórmula subconscientemente.
Déjame dar un ejemplo. Supongamos que en una bolsa hay 10 bolas blancas y 10 rojas, y estás recogiendo 2 bolas. Quieres la probabilidad de que ambos fueran blancos.
La respuesta simple es 10C2 / 20C2 ¿verdad? Pero piensa en cómo llegaste a la respuesta. ¿Cómo llega el 10C2?
Escogemos la primera bola. La probabilidad de que sea blanco es de 10/20. Ahora escoges la segunda bola. La probabilidad de que sea blanco, dado que la primera era blanca , es 9/19. Ahora nosotros piense en la intersección de los dos aplicando la fórmula misma. Es 10/20 * 9/19. Entonces, damos sentido a la intersección A aplicando la fórmula en sí.
Si piensa un poco, encontrará que el cálculo de P (A intersección B) siempre se calcula mediante P (A | B) P (B), incluso en el más simple de los problemas.
Por lo tanto, en cierto sentido, P (A | B) es más fundamental que P (A intersección B), al menos mientras calcula las probabilidades reales.

Answer 4

Es simple, vamos a romper los términos.

LHS:
P (B): Probabilidad del evento B
P (A / B): Probabilidad del evento A dado que el evento B ya ha ocurrido.

P (A / B) .P (B): Esto es un AND lógico de las dos probabilidades. Por lo tanto, desea que el evento B, junto con el evento A, considerando que el evento B se haya llevado a cabo (que se debe a P (B)). Por lo tanto, desea el evento A y el evento B. Esta es una intersección lógica.

Por lo tanto, LHS = P (A intersección B)