¿Cómo se establecen las reglas lógicas?

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Esta es en realidad una pregunta muy interesante, al menos para mí. ¿Es válido usar la lógica para probar “reglas”, teoremas o meta-teoremas sobre la lógica?

Bueno, tienes que empezar en alguna parte. Las reglas de los sistemas lógicos * a * dependen del sistema formal que se definió para la lógica. Los ejemplos son proposicional, predicado, lógica modal, etc. Una vez que se define el sistema, hay propiedades de certificado que se desean en cualquier sistema lógico. Aquí hay una lista de Wikipedia (cito de Wiki):

Entre las propiedades importantes que pueden tener los sistemas lógicos:

• Consistencia , lo que significa que ningún teorema del sistema contradice a otro. [14]
• Validez , lo que significa que las reglas de prueba del sistema nunca permiten una inferencia falsa de premisas verdaderas. Un sistema lógico tiene la propiedad de solidez cuando el sistema lógico tiene la propiedad de validez y usa solo premisas que demuestran ser verdaderas (o, en el caso de los axiomas, son verdaderas por definición). [14]
• Integridad de un sistema lógico, lo que significa que si una fórmula es verdadera, se puede probar (si es verdadera, es un teorema del sistema).
• Solidez , el término solidez tiene múltiples significados separados, lo que crea un poco de confusión en toda la literatura. Más comúnmente, la solidez se refiere a sistemas lógicos, lo que significa que si se puede probar alguna fórmula en un sistema, entonces es cierta en el modelo / estructura relevante (si A es un teorema, es verdad). Esto es lo contrario de lo completo. Un uso distinto y periférico de la solidez se refiere a argumentos, lo que significa que las premisas de un argumento válido son verdaderas en el mundo real.

Ahora viene la parte interesante, demostrando estas propiedades para el sistema logicla. ¿Qué se utiliza para las pruebas? Lógica, la regla de inferencia para el sistema y cualquier otra cosa que sea parte del sistema lógico.

Implícito es el uso de la lógica proposicional.