Sentido común: ¿Es éste, [math] 0.n / 0. (n + 1) [/ math], donde [math] n [/ math] es un entero positivo y tiende a infinito?

Answer 1

No sé a qué te refieres en el argumento. Tomo cualquier número irracional para ser uno en la proporción de 1, para ser cualquier secuencia de dígitos, no repetidos después del punto decimal. Sigue para siempre.

El número .99 con repetición decimal no es irracional. Es un número racional en cualquier punto x, x dígitos fuera del punto decimal. Eso es x 9 dividido por 1 seguido de x 0. ¿Correcto? Es de la forma p / q, donde p y q son ambos enteros positivos.

Los matemáticos lo hacen simple en la mente del niño. Este decimal periódico que se acerca a 1, pero nunca toca 1, es igual a 1 en el sentido lógicamente equivalente. Es una notación algo mal interpretada para indicar .99 repetición decimal = 1.

Pero si trabajas con el infinito, como siempre, descubrirás la paradoja. Por ejemplo, el hotel de Hilbert. Para la mayoría de las aplicaciones, esta igualdad es lo suficientemente aproximada. Si alguna vez tiene un problema, aumente el número x hasta que su precisión sea lo suficientemente buena.

Answer 2

Multiplica el numerador y el denominador por 10 ^ k (n) donde k (n) es el número de dígitos de n. Entonces su función se reduce a n / (n + 1), que tiende a 1. 0.9 recurrente = 1 no es falaz, es una definición y es consistente con los argumentos limitantes.

Edición: no tuve en cuenta la posibilidad de que n consiste en 9s. En ese caso la función se reduce a
n / 10 ^ (k (n) -1) = (10 ^ k (n) -1) / 10 ^ (k (n) -1) = 10 – 1/10 ^ (k (n) -1) que está cerca de 10 cuando hay una gran cantidad de dígitos. Así que la función no tiende a un límite. Tiene puntos de acumulación en 1 y 10 que son límites de ciertas subsecuencias.

Esto no tiene nada que ver con la legitimidad de 0.9 recurrente = 1.