¿Las matemáticas usan solo un pensamiento inferior? ¿Es cierto que las matemáticas puras consisten principalmente en deducciones mecánicas, no en el descubrimiento de nuevos hechos? Si hay una prueba de algo, ¿no es trivial?

Answer 1

“De la observación, el experimento, la inducción, la analogía, el matemático no sabe nada”.

¿Seriamente?

No, esto no es cierto . Ni siquiera un poquito de verdad. De hecho, está tan lejos de la verdad como la Casa de la Ópera de Sydney es de la galaxia de Andrómeda.

Los matemáticos hacen descubrimientos por observación, todo el tiempo. El Teorema de los números primos fue conjeturado unos 100 años antes de que fuera probado. ¿Cómo se conjeturó? ¿Fumando marihuana? Se observó estudiando cuidadosamente los números primos, experimentando con varios posibles ajustes, probando, comparando, adivinando.

Experimentan matemáticos, todo el tiempo. Esto es especialmente cierto hoy en día cuando las computadoras nos permiten realizar experimentos masivos con números, estructuras algebraicas, procesos iterativos y miles de otras cosas, pero también fue cierto en el siglo XIX cuando aparentemente se pronunció esta frase despistada. Euler, Gauss, Kummer, Jacobi, Dedekind y todos los demás matemáticos experimentaron con los objetos que estaban estudiando probando cosas, calculando, observando patrones y formando conjeturas.

Para 1801, Gauss, de 24 años, calculaba docenas, tal vez cientos de las maravillosas sumas conocidas hoy en día como sumas de Gauss cuadráticas. Él fue capaz de determinar (con prueba) los cuadrados de esas sumas, por lo que conocía cada uno para firmar, y sus experimentos parecían indicar que el signo más es siempre el correcto. Durante años, no pasó una semana, dijo, que no había tratado de demostrarlo. Finalmente, en 1805, “como un rayo se resolvió el rompecabezas”.

Sí, eventualmente hubo pruebas. Pero primero, hubo experimento y observación.

Cuando los físicos proponen una teoría, la prueban mediante experimentos. Si las predicciones hechas por una teoría resultan ser consistentemente correctas, su nivel de confianza en la teoría aumenta constantemente. Y … es exactamente lo mismo con los matemáticos. La única diferencia es que, una vez que se han recopilado datos experimentales, los matemáticos buscan pruebas. Pero las primeras etapas son increíblemente idénticas.

La inducción y la analogía son formas en que transmitimos observaciones de casos pequeños a grandes y de un dominio a otro. La función zeta de Riemann se generalizó en, bueno, la función zeta generalizada no por deducción, sino por inducción en dominios superiores con caracteres. Luego, por una sutil analogía con la forma en que se define sobre los números naturales, Dedekind formó una función zeta análoga sobre otros anillos conmutativos y creó un dominio rico y profundo que combina la teoría y el análisis numéricos.

Se deseaba la cohomología histórica, luego se inventaba, luego se conjeturaba formalmente, luego se construía y probaba a lo largo de más de una década, por analogía con los grupos de cohomología ordinarios de múltiples.

Todo el campo del análisis armónico es una expansión por inducción y analogía de las series e integrales de Fourier.

“Compacto” es un análogo de “finito”.

Los campos de función algebraica son análogos de los campos de números.

Los árboles regulares son análogos de espacios homogéneos.

La factorización de Weierstrass de funciones completas es un análogo de la factorización polinómica.

Cada cardenal grande es un análogo de [math] \ aleph_0 [/ math].

¿Quieren más? Es difícil pensar en cualquier teoría matemática, conjetura, dominio o logro que no implique mil observaciones, experimentos fallidos y exitosos, inducciones y analogías.

En serio “Pensamiento inferior”. Me pregunto a dónde nos llevará el “pensamiento superior”.

(EDITAR: tenga en cuenta que el “Sir William Hamilton” que hizo esa declaración no es el matemático, Sir William Rowan Hamilton, que no soñaría con decir algo tan inane).

Answer 2

10.9.2016 – “¿Las matemáticas usan solo un pensamiento inferior?”

Resumen de mi respuesta . El interrogador llega a su conclusión tentativa al enfocarse en parte del proceso de las matemáticas y en su descripción que apoya su conclusión errónea.

Supuse que el interrogador sería anónimo, ya que nadie querría que su nombre se asocie con un pensamiento tan desviado. Y de hecho el interrogador es anónimo.

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Otras respuestas, especialmente las de Alon Amit, muestran que la sugerencia en la pregunta es objetivamente incorrecta.

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Pero me gustaría mostrar que la sugerencia de un pensamiento inferior es “categóricamente incorrecta”.

Cada disciplina o actividad humana como física, lógica, arte, literatura, lingüística, meditación, exploración espacial, etc. enfatiza algunos aspectos del pensamiento y acción críticos y creativos y no enfatiza otros. Esto es esencial para la naturaleza de ser una disciplina o campo de actividad.

Por lo tanto, según el pensamiento de la pregunta, todas las disciplinas son inferiores.

Sería un mundo extraño si hiciéramos solo matemáticas o solo exploración espacial. Así que, por supuesto, cada disciplina tiene un lugar en el todo más grande.

Pero mientras que las disciplinas ganan significado del conjunto, también tienen su propio significado intrínseco; y al mismo tiempo son necesarios para el conjunto.

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¿Si hay una prueba no es trivial? Esto es la combinación de dos significados de ‘trivial’. Un significado es algo así como ‘obvio y fácil, incluso para un neófito’. Pero el significado de llamar “trivial” a una prueba compleja es que cada paso individual es obvio y cierto. Sin embargo, incluso si le dan la prueba, diga la prueba de Wiles del último teorema de Fermat, tendría que ser un matemático experimentado para seguirlo. Encontrar tales pruebas es difícil y requiere un desarrollo matemático histórico y personal suficiente, persistencia y un alto orden de creatividad.

¿Es cierto que las matemáticas consisten principalmente en deducción mecánica? No. Como se dijo anteriormente, incluso cuando una prueba difícil te está mirando, no es mecánico. Pero hay dos lados. El lado creativo. La lucha por llegar a una prueba. El cuestionamiento y los insights. Y luego el procedimiento de prueba en sí. Y típicamente no es un proceso 1 → 2. Es más como una percepción → una pieza de prueba → que conduce a una mayor comprensión → y así sucesivamente, que en casos difíciles puede durar varios años (o siglos). Cuando se publica el resultado final destaca el aspecto mecánico. Una de las cosas que un matemático aprende en la escuela, comenzando como estudiante universitario, es la necesidad de y cómo cultivar el difícil proceso de traducir ideas en conjeturas, conjeturas en ideas y perspectivas en pruebas (no es lineal, por supuesto). Esto no es parte de los artículos publicados (por lo general).

Pero hay popularizaciones que hablan del lado creativo de las matemáticas. Una de ellas es Cómo resolverlo de George Polya. Otro ejemplo está en The Princeton Companion to Mathematics , 2008, que tiene una sección en la que matemáticos bien conocidos comparten sus ideas sobre cómo cultivar el lado creativo de las matemáticas.

Recomiendo que el interrogador y cualquier persona que comparta sus opiniones vean estos libros.

Por cierto, en contextos generales, los lados creativo y demostrativo de la investigación intelectual a veces se denominan contexto de descubrimiento y contexto de justificación , respectivamente.

Answer 3

Para complementar las excelentes respuestas hasta ahora, si probar un nuevo teorema no es el descubrimiento de un hecho nuevo (el hecho preexistió la prueba), también lo es el descubrimiento de una nueva partícula o ley en la física y también lo es el descubrimiento de una “nueva” bacteria o incluso la escritura de una nueva novela inglesa con 4194304 símbolos (la partícula estaba allí antes de ser descubierta, así como la bacteria, y la novela preexistía en el conjunto de 4194304 combinaciones de letras al azar, el novelista simplemente lo escribió ;-).

Sin una intuición basada en la experimentación y la observación, los matemáticos ni siquiera sabrían por dónde empezar y qué vale la pena probar. Además de eso, la analogía es una herramienta matemática básica: todos hemos sido mordidos por analogías incorrectas, pero los matemáticos usan analogías sólidas a diario, por ejemplo, moviéndose de un lado a otro entre espacios duales (cf. dualidad), solo piense en Fourier o transformadas de Laplace utilizadas por físicos e ingenieros. Perciben la diferencia entre una analogía válida y una falsa.

Sin todos estos procesos de pensamiento, los matemáticos tendrían tantas posibilidades de probar algo interesante como los monos probablemente escribirían aleatoriamente una versión de la Biblia de 4194304 caracteres.

Supongo que Sir Hamilton (suponiendo que estamos hablando del padre de i, j, k) quiso decir que cuando un matemático llega a formalizar una prueba, no hay espacio para nada más que compartir una descripción mecánica y deductiva con sus compañeros. Pero para llegar a la prueba de cualquier teorema no trivial, uno tiene que observar objetos matemáticos, jugar y experimentar con ellos, obtener la intuición de lo que podría ser verdad y lo general en comparación con lo que es mera coincidencia, probar analogías, formular el teorema , y solo una vez que se descubre este “hecho”, ponga la prueba formal en el papel (por lo general, se omite la mayoría de las trivialidades e incluso los cálculos mecánicos que rara vez se encuentran en trabajos matemáticos avanzados).

ps. Leí en algún lugar que la Biblia tiene aproximadamente 3.5M caracteres y agregué algunos para explicar los espacios y la puntuación (4194304. En realidad, puedes escribir ese número con solo 1 dígito sin cambiar la base).

Answer 4

Creo que Hamilton le estaba dando demasiado crédito a los matemáticos. Claro, sería realmente impresionante poder funcionar completamente a partir de la deducción pura, como él dice, simplemente buscando exhaustivamente el espacio de los posibles teoremas, descubriendo cada hecho verdadero dados los teoremas de partida, pero no es así como funcionan los humanos. De hecho, si lo hiciéramos, ¿cómo sabríamos qué afirmaciones verdaderas eran lo suficientemente interesantes como para llamar teoremas? De hecho, los matemáticos son mucho más que probadores de teoremas. Los matemáticos son, ante todo, críticos. Esto tendría mucho sentido si hablara o conociera a muchos matemáticos. De hecho, estoy seguro de que un matemático real tuvo una mano en escribir esta broma:

Un ingeniero, un físico y un matemático se encuentran en una anécdota, de hecho, una anécdota bastante similar a la que muchos de ustedes ya han escuchado. Después de algunas observaciones y cálculos aproximados, el ingeniero se da cuenta de la situación y comienza a reírse. Unos minutos más tarde, el físico comprende también y se ríe a sí mismo felizmente, ya que ahora tiene suficientes pruebas experimentales para publicar un artículo.

Esto deja al matemático algo perplejo, ya que había observado de inmediato que era objeto de una anécdota, y dedujo bastante rápidamente la presencia de humor de anécdotas similares, pero considera que esta anécdota es un corolario demasiado trivial para ser significativo, y mucho menos gracioso.

Tantos chistes sobre matemáticos los malinterpretan como perezosos o despistados (un hecho que dejaré como un ejercicio para el lector), pero creo que este capta la esencia de la investigación matemática como arte. El matemático aquí no solo ha utilizado la inducción (comparación con anécdotas similares), sino que también ha emitido un juicio sobre el significado o interés de un resultado.

Hamilton probablemente estaba exagerando intencionalmente cuando dijo que los matemáticos no usan la analogía. Por supuesto, uno no puede participar en la creación de arte sin el uso de la analogía, y los matemáticos suelen ser muy capaces de usarlo. De hecho, deben hacerlo cada vez que se les pida que expliquen la investigación matemática a los no matemáticos:

Un matemático, nativo de Texas, una vez se le preguntó en su clase: “¿Para qué sirve la matemática?” Él respondió: “Esta pregunta me pone enferma. Como cuando le enseñas a alguien el Gran Cañón por primera vez, y te pregunta:” ¿Para qué sirve? ¿Qué harías? Por qué, echarías al chico por el precipicio “.

Por supuesto, las analogías son heurísticas extremadamente útiles para encontrar pruebas también.

Y la existencia de una prueba de un hecho no lo hace trivial. Los matemáticos tienen un concepto de “resultados profundos”: pruebas difíciles que involucran técnicas novedosas y formas de pensar con muchas implicaciones. “Trivial” para un matemático es algo que se sigue bastante de una definición. Por ejemplo:

El teorema de la cereza (un rompecabezas que recuerda algunos teoremas de cálculo)

P: ¿Qué es una cosa pequeña, roja y redonda que tiene un hueso de cereza dentro?

A: Una cereza.

Pero teoremas como el Teorema de Fermat-Wile o el Teorema de Poincaré-Perelmann tienen pruebas con tantas partes interconectadas y nuevas ideas que los análisis que utilizan pueden reutilizarse en otros lugares. Erdős fue un autor tan prolífico precisamente porque tenía un puñado de nuevas herramientas de prueba que podrían reutilizarse en cientos de contextos diferentes. (Pruebas de existencia probabilísticas, por ejemplo) ¿Y qué es esa reutilización, pero el razonamiento analógico e inductivo? “Oye, ¿tal vez podamos usar ese truco que funcionó para que eso pasara por algo relacionado?”

Además, la observación y el experimento suelen ser partes críticas de averiguar qué preguntas vale la pena hacer. Toda buena conjetura surgió de un proceso de mirar muchos ejemplos y notar tendencias entre ellos. ¿Cómo crees que surgió la hipótesis de Riemann? ¿Crees que Riemann acaba de decir “Oye, apuesto a que todos los ceros no triviales de la función zeta tienen una parte real 1/2” de la nada, a propósito de nada? No claro que no. Primero encontró varias que eran y trató desesperadamente de encontrar alguna que no lo fuera. Y como prueba de que los matemáticos deben estar necesariamente desconectados o no interesados ​​en las implicaciones de sus resultados en el mundo real:

Esta historia se atribuye al profesor Lev Loytiansky, el escenario es en la Unión Soviética en los años treinta o cuarenta.

L. organizó el seminario en hidrodinámica en su universidad. Entre los asistentes regulares había dos hombres en el uniforme, obviamente ingenieros militares. Nunca discutieron los problemas en los que estaban trabajando. Pero un día le piden a L. que le ayude con un problema de matemáticas. Explicaron que la solución de una determinada ecuación oscilaba y preguntaron cómo debían cambiar los coeficientes para hacerla monótona. L. miró la ecuación y dijo: “¡Haz las alas más largas!”

¿Cómo es eso para el razonamiento “puramente deductivo”?

Fuente: Colección de chistes de matemáticas de Andrej y Elena Cherkaev.

Answer 5

Desde un punto de vista formalista, las matemáticas son de hecho una “deducción mecánica”. Como demostró Gödel, cada declaración de primer orden verdadera en todos los modelos de un conjunto de axiomas puede derivarse de ese conjunto de axiomas utilizando un algoritmo de fuerza bruta muy simple.

Sin embargo, hay varios problemas con su pregunta.

En primer lugar, no veo por qué la “deducción mecánica” y el “descubrimiento de nuevos hechos” deben ser mutuamente excluyentes. Si algo no se conocía anteriormente y luego se demuestra que es verdad usando un algoritmo, ¿por qué no debería constituir un hecho nuevo?

En segundo lugar, ¿por qué debería ser algo trivial si hay una prueba de ello? Para mí, esta afirmación me parece absurda. La mayoría de las personas se referirían a algo como “trivial” cuando a la mayoría de las personas (o al menos a la mayoría de las personas familiarizadas con el tema) les resultaría muy fácil entenderlo.
Pero muchas conjeturas matemáticas son muy difíciles de entender incluso para los expertos e incluso si existen pruebas para ellos. El ejemplo más famoso sería el último teorema de Fermat (la mayoría de los profesores universitarios no entienden la prueba).

Además, Hamilton ciertamente no quiso expresar que las matemáticas implican un “pensamiento inferior”. Inventó los cuaterniones (una estructura en álgebra) e incluso fundó una sociedad para el avance de los cuaterniones. ¿Por qué alguien encontraría una sociedad para un objeto matemático si creyera que las matemáticas son inferiores?

En mi opinión, la cita simplemente expresa que las matemáticas no están relacionadas con el mundo físico. La palabra “experimento” (en contraste con “experimento mental”) se usa comúnmente para probar una hipótesis empírica, no una lógica (o matemática).
Como matemático, probablemente también era consciente del concepto de inducción matemática y, por lo tanto, en este contexto, “inducción” se refiere al razonamiento inductivo empírico (que de hecho no se usa en matemáticas).

Como los matemáticos a menudo usan analogías, existen básicamente dos posibilidades para la última parte de su cita: o estaba simplemente equivocado o se refería al concepto de “prueba por analogía” que no se usa en matemáticas. Esto es difícil de decir, pero nuevamente, dado que él era un matemático famoso, encuentro que esta última alternativa es más creíble.

Edit: Tenía la impresión de que la cita era del matemático Sir William Rowan Hamilton, pero aparentemente hay otro Sir William Hamilton de esa época que hizo esta declaración. Dadas estas nuevas circunstancias, retraigo los últimos tres párrafos y me parece más probable que este hombre simplemente no entendiera las matemáticas.

Answer 6

Las matemáticas puras descubren nuevas implicaciones de hechos conocidos. Si bien solo se usa la deducción en las pruebas, se deben usar otros modos de pensar para determinar los pasos deductivos correctos a tomar.

Mucho trabajo matemático, de hecho, involucra analogías, pero necesitas deducir una prueba que las analogías realmente sostienen.

Las matemáticas probablemente implican un pensamiento más duro que cualquier otra disciplina. Sin embargo, Hamilton tiene razón en cierto sentido porque las matemáticas por sí mismas no son útiles. No solo no puede hacer que te sientas mejor después del rechazo romántico, por sí solo no se puede usar para hacer cosas como construir un reactor nuclear.

Para construir uno necesitas observación y experimento para determinar las propiedades de los materiales. Es útil expresar esas propiedades matemáticamente, pero las matemáticas por sí solas no le darán los valores de esas propiedades ni determinarán qué propiedades necesita conocer.

Answer 7

¿Que demonios? ¿Es este Sir blahblah pretendiendo ser un filósofo? Porque suena como un tonto. Estimado señor blahblah, el inglés y todos los idiomas, de hecho, tienen una lógica interna que puede ser modelada por la lógica de primer orden (una rama basada en las matemáticas). Como tal, todos los buenos pensamientos son necesariamente el resultado de un “razonamiento deductivo mecánico”.

Eso es algo bueno . Una cosa lejos de ser inferior.

Answer 8

Euler, Gauss, Liebnitz, Ramanujam … Newton, Hamilton, Fourier … Solo lea resúmenes sobre estas personas, lo que hicieron y cómo lo hicieron. Una buena fuente sería la BBC Radio 4 podcasts, especialmente In Our Time de Melvyn Bragg …