¿Cuál es la importancia de la lógica matemática para las matemáticas?

Aquí hay una anécdota masacrada sobre Saharon Shelah que podría ser de gran ayuda.

Shelah está asistiendo a una charla de matemáticas. El presentador ha ofrecido, con gran dificultad, un nuevo ejemplo de alguna estructura matemática, digamos un matrixoid reticular de casi Hebrand. La existencia de un nuevo ejemplo de este objeto es significativa en el campo de la teoría de la reticulación de casi Hebrand (estoy inventando estos nombres). Shelah ha llegado tarde y se ha perdido la mayor parte de la conversación. Cuando llega el momento de las preguntas, levanta la mano y dice: “Puedo darte innumerables muchos de estos objetos. Ahora, dígame, ¿qué es un matrixoid reticular cuasi-Hebrand?

La lógica matemática tiene que ver con el bosque más que con los árboles. Cuando observas la estructura que tienen en común los diferentes campos matemáticos, ves temas generales que hacen que la teoría funcione.

Un gran ejemplo es la o-minimalidad. Resulta que muchos teoremas en la geometría analítica real provienen simplemente del hecho de que los conjuntos definibles unidimensionales tienen un número infinito de componentes. Otros ejemplos son la estabilidad y la simplicidad. Solo sabiendo que un objeto matemático pertenece a una de estas categorías, usted sabe mucho sobre lo que es estructuralmente posible. Muchos teoremas genéricos están listos para importar e interpretar.

El razonamiento matemático se basa en la lógica y las reglas de inferencia en la lógica para hacer inferencias, hacer deducciones, formar pruebas válidas para que las conjeturas se conviertan en teoremas.

La lógica es de fundamental importancia en la matemática.

Matemáticos prueba teoremas. Muy bien por cierto. En el libro bastante bueno de Davis & Hersh, The Mathematical Experience (citado de memoria), hay una situación imaginaria en la que un estudiante le pregunta al profesor de matemáticas qué es una prueba. El profesor responde algo como esto: “¿Qué es una prueba? Me has visto haciendo pruebas en cada clase. Eso es lo que es una prueba ”. Pero supongo que pocos matemáticos pueden justificar correctamente por qué pueden usar el método de reducción ad absurdum, o por qué, para probar que A implica B, puede asumir A como hipótesis y derivar B, obteniendo así el resultado (el teorema de la deducción). La lógica es fundamental para las matemáticas. La lógica matemática es solo lógica hecha con técnicas matemáticas.

¿Cuál es la importancia de la lógica matemática para las matemáticas?

La lógica matemática se puede definir como: “La parte de las matemáticas relacionada con el estudio de los lenguajes formales, el razonamiento formal, la naturaleza de la prueba matemática, la probabilidad de las afirmaciones matemáticas, la computabilidad y otros aspectos de los fundamentos de las matemáticas”. Búsqueda de Google

¿Entonces la pregunta parece centrarse en si las pruebas observadas en matemáticas son o no lógicas? Si es verdad, debemos darnos cuenta y llegar a ser bien practicados en las pruebas expresadas en términos matemáticos, para así saber si una ecuación matemática particular sigue o no pasos lógicos y llega a una conclusión lógica.

Excelente entrenamiento para esto se encuentra en las pruebas geométricas dadas por Euclides en sus ELEMENTOS