¿Cómo una declaración falsa en lógica proposicional (implicaciones) implica la verdad? Esto parece contradictorio: si es falso, ¿cómo es cierto?

Answer 1

Es posible que hayas escuchado que si vas a la universidad, obtendrás un buen trabajo. Esa es una declaración de implicación, A = ir a la universidad, B = obtener un buen trabajo, A -> B.

Si esta afirmación es verdadera, las siguientes cosas son posibles:

• Ir a la universidad, conseguir un buen trabajo: 1 -> 1
• No vayas a la universidad, no consigas un buen trabajo: 0 -> 0
• No vayas a la universidad, consigue un buen trabajo de todos modos: 0 -> 1

Sin embargo, si nuestra declaración es correcta, es imposible ir a la universidad y NO obtener un buen trabajo. 1 -> 0 es falso.

Así es como funciona la lógica:

Si hay un caso en el que alguien va a la universidad y no consigue un buen trabajo, la declaración es incorrecta. El hecho observable de que 1 -> 0 lo refuta.

Si ha basado todo su sistema de pensamiento en esta declaración, tiene un pequeño problema. Cualquiera de las otras implicaciones que haya llegado a la conclusión de esta afirmación podría ser cierta o podría no serlo.

Un ejemplo sería “Si obtienes un buen trabajo, entonces serás feliz”. B = Consigue un buen trabajo, C = ser feliz, B -> C.

Usando la implicación, deducimos que ir a la universidad conduce a la felicidad: A -> C. Una vez más, esta afirmación no excluye la posibilidad de que puedas omitir la universidad y seguir siendo feliz. Si eso sucede, toda tu lógica sigue siendo sólida.

El problema surge cuando alguien va a la universidad pero no está contento. Eso significa que al menos una de nuestras declaraciones es falsa, pero ¿cuál?

Aquí es donde podemos usar la regla contrapositiva para evaluar nuestras afirmaciones.

Contrapositivo de A -> B es! ​​B ->! A, por lo que tenemos tres nuevas implicaciones con las que trabajar:

• ¡No serás feliz si no consigues un buen trabajo,! C ->! B
• ¡No conseguirás un buen trabajo si no vas a la universidad,! B ->! A
• ¡No serás feliz si no vas a la universidad,! C ->! A

Para decidir si nuestra lógica es sólida, no consideramos hechos sobre personas felices o personas que tienen buenos trabajos. Son irrelevantes para nuestra lógica porque no son predictivos .

Solo podemos decidir si estas afirmaciones son ciertas al buscar personas infelices que tienen buenos trabajos (refutando el primero), personas que no tienen buenos empleos aunque fueron a la universidad (refutando el segundo) y personas infelices que asistieron a la universidad (refutando el tercero).

Tl; dr : has confundido afirmaciones con hechos. Tener 2 cabezas o 4 ojos son hechos que se pueden observar. “Si tiene 2 cabezas, tiene 4 ojos” es una afirmación que puede comprobarse o refutarse observando los hechos.

Answer 2

“Si es falso, ¿cómo es verdad?” Bueno, te estás confundiendo con la palabra “eso”. Lo estás utilizando para referirte a dos cosas diferentes.

Si la premisa es falsa, ¿cómo es cierta la implicación ? Porque eso es lo que significan las implicaciones. Una implicación es una afirmación sobre lo que sucede cuando la premisa es verdadera. Una implicación no dice nada en absoluto sobre lo que sucede cuando la premisa es falsa, por lo que en los casos en que la premisa es falsa, no se viola la implicación.

En particular, la conclusión no es necesariamente cierta, aunque la implicación lo sea. Veamos un ejemplo: digo que si obtienes un A + en lógica, entonces te compraré un helado. Pero al final del semestre tienes una B en lógica, y no te compro helado. La premisa y la conclusión son ambas falsas. ¿Eso significa que mi oferta era una mentira?

Answer 3

Recuerde, el material condicional, (P ⊃ Q), es equivalente a ˜ (P & ˜Q). Seguramente no le sorprenda que ˜ (P & ˜Q) sea Verdadero cuando P sea Falso. Piense en (P ⊃ Q) como una abreviatura de ˜ (P & ˜Q).

Solo parece extraño que (P ⊃ Q) sea Verdadero cuando P sea Falso porque la gente dice que (P ⊃ Q) significa “Si P entonces Q”. No lo hace. En el cálculo proposicional, no hay manera de producir una oración que signifique lo que decimos cuando decimos “Si P entonces Q”.

Entonces, ¿por qué la gente dice que (P ⊃ Q) significa “Si P entonces Q”? Bueno, puede establecer fácilmente que (P ⊃ Q), P, por lo tanto, Q es válido, como lo es (P ⊃ Q), ˜Q, por lo tanto ˜P, mientras que (P ⊃ Q), ˜P, por lo tanto ˜Q no es válido . Entonces, cuando probamos la validez de las inferencias usando (P ⊃ Q), podemos usar esas respuestas para decirnos si las inferencias que involucran “Si P entonces Q” son válidas. (P ⊃ Q) no significa lo mismo que “Si P entonces Q”, pero se puede usar para hacer un seguimiento de la validez de los argumentos que usan “Si P entonces Q”.

El cálculo proposicional nos dice si los argumentos son válidos. Lo que queremos en la vida real son los argumentos que son sólidos, donde el argumento es válido y las premisas son verdaderas. Si el cálculo proposicional nos dice que un argumento es válido cuando la premisa es falsa, no vamos a terminar pensando que el argumento es sólido, y la solidez es lo que necesitamos.

Entonces parece extraño que (P & ˜P), por lo tanto, Q sea válido. Creo que es una debilidad del cálculo proposicional que afirma que este argumento es válido. Pero no es una debilidad fatal, porque incluso si alguien piensa que “P y no P, por lo tanto, Q” es válida y no lo es, esto no los llevará a pensar que “P y no P por lo tanto, Q” es acertada, porque la razón piensan que “P y no P, por lo tanto, Q” es válido es precisamente porque piensan que “P y no P” no pueden ser verdad.

Para obtener más información, puede leer la Guía filosófica de condicionamiento de Jonathan Bennett . Todo esto tiene sentido si lo lees despacio y con cuidado. La insatisfacción con el condicional material fue uno de los principales factores motivadores para desarrollar alternativas al cálculo proposicional. El cálculo proposicional suele ser la primera forma de lógica que las personas estudian no porque sea la mejor, sino porque es la más simple, y las introducciones a una forma más avanzada de lógica presuponen que ya está familiarizado con el cálculo proposicional. Por lo tanto, si el material es confuso condicional, eso no significa necesariamente que sea un mal lógico: su percepción de que esto no es correcto demuestra que está pensando de la misma manera que algunos de los grandes lógicos del pasado.

Answer 4

Parece que lo que estás hablando (como lo señala otra respuesta) es el material condicional. Estas son declaraciones de la forma general p -> q (si p entonces q). La declaración en sí misma ‘si p entonces q’ no representa con precisión lo que tendemos a decir cuando usamos esta declaración en inglés común. Pero retrocedamos por un minuto, porque creo que hay algo de confusión con tu pregunta.

Usted sugiere que las declaraciones falsas implican la verdad; Esto no está del todo bien. La implicación es un tipo diferente de critter, lo mejor que puedes decir es que todo se sigue de una contradicción. Pero esto tiene que ver con la definición de validez. Un argumento es válido cuando es imposible que todas las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa. Cuando tenemos una contradicción en las premisas, automáticamente tenemos un argumento válido: no importa cuál sea la conclusión. Podría ser una declaración verdadera o una declaración falsa. En un caso como este, cualquier cosa se deriva de (puede ser la conclusión de) una contradicción.

Pero este es un tipo de validez trivial y no es terriblemente interesante, al menos para nuestros propósitos. Si estoy entendiendo tu pregunta correctamente, estás preguntando por qué un condicional es verdadero cuando el antecedente (la parte antes de la flecha) es falso. Como ejemplo, consideremos condicional p -> q y seamos p ‘La luna está hecha de queso’. Ahora nuestro condicional es verdadero y ni siquiera importa lo que es q, podría ser verdadero o falso.

Hay muchas maneras diferentes de pensar por qué este es el caso. Pero la explicación que más me gusta usa el siguiente condicional: si te disparo, morirás. Aquí, p es “Te disparo” y q es “Morirás”. Esta declaración es en sí misma una proposición, una declaración que puede ser verdadera o falsa. Así que ahora podemos preguntar si es verdad. ¿Cómo podemos averiguar si este condicional es verdadero o falso? Mejor aún, la mayoría de la gente siente que esta afirmación es falsa, entonces, ¿cómo podemos demostrar que es falsa?

Así que imagina que alguien te dice ‘Si te disparan, morirás’. Podrías pensarlo y decir: ‘Bueno, ¿y si me disparas en la mano o en el pie? No moriré en esos casos, me dolerá como una locura, pero no moriré ‘. Lo que acaba de hacer se muestra que el condicional es falso: hay un caso en el que p (Recibió un disparo) es verdadero mientras q (Usted muere) es falso. De hecho, este es el único caso en el que los condicionales son falsos.

Apliquemos esto de nuevo a tu pregunta. Ahora, asumimos que p es falso: no te dispararon (¡espero que este sea el caso!). ¿Ahora sigue que no vas a morir? ¡Por supuesto no! Pero tampoco se sigue que vas a morir, tampoco. Esta forma de probar condicionales tiene mucho sentido intuitivo y nos ayuda a entender los tipos de casos en los que son verdaderos y en los que son falsos. Mejor dicho, nos da una forma de probar sentencias condicionales. Solo necesitamos encontrar un caso donde p sea verdadero yq sea falso.

Entonces, para resumir, las declaraciones falsas no implican declaraciones verdaderas. Es solo que, cuando conecta una declaración falsa como antecedente (la parte p) de un condicional, terminará con una declaración condicional verdadera, ya sea que el consecuente (la parte q) sea verdadero o falso.

De manera adicional, si quiere representar mejor lo que queremos decir en lenguaje ordinario con las afirmaciones if-then, podemos hacerlo utilizando un biconditional, o doble flecha: <->

El biconditional se lee como “si y solo si” y captura mejor el contenido semántico (lo que realmente queremos decir) de los condicionales del idioma natural inglés. Supongamos que te digo que si haces tu tarea, te daré una galleta. De acuerdo con nuestras reglas regulares para los condicionales, usted podría fallar en hacer su tarea y yo podría darle una cookie de todos modos. Esta sería una declaración verdadera y, por lo tanto, consistente con la declaración condicional. Pero si usamos un bicondicional (le daré una cookie si y solo si hace su tarea) obtenemos el resultado correcto. Solo obtendrá una cookie cuando haga su tarea y si usted no hace su tarea, entonces no tendrá ninguna cookie para usted.

Answer 5

No hay nada de malo en usar el conocimiento de que alguna proposición P es falsa, para probar que alguna proposición diferente de P es verdadera. Eso no es una contradicción. Eso está bastante bien.

Supongamos que A y B son proposiciones. Incluso podrían ser una y la misma. Cualquiera que sean, la proposición A implica que B es diferente de A.

Considere esta afirmación: si A es falso, A implica que B es verdadero. La afirmación no es una contradicción, aunque podría ser contraintuitiva. De hecho, la declaración funciona bien como parte de la siguiente definición formal del término “implica”:

1. Si A es falso, entonces A implica que B es verdadero.
2. Si A es verdadero y B es falso, entonces A implica que B es falso.
3. Si A es verdadero y B es verdadero, entonces A implica que B es verdadero.

Las personas en el habla cotidiana a menudo usan “implica” con un significado diferente. A veces significan “insinuar”. Esa podría ser la razón por la cual la definición formal es contraintuitiva.

Por supuesto, eso invita a la pregunta: ¿por qué los practicantes de la lógica proposicional tolerarían una definición tan poco intuitiva?

Bueno, la definición tiene virtudes que compensan sus defectos. Cubre todas las combinaciones posibles de los valores de verdad de A y B. Y encaja de manera consistente con estas reglas de inferencia extremadamente útiles:

• Si A implica que B es verdadero y A es verdadero, entonces B es verdadero.
• Si A implica que B es verdadero y B es falso, entonces A es falso.

Answer 6

Porque la adición de dos negativos da un resultado positivo . No es cierto por sí mismo , pero puede llevar a una verdadera respuesta / conclusión si está encadenado en una secuencia conveniente de operaciones lógicas .

Answer 7

¿Cuál es el valor de verdad de una implicación?

Considere: “Si hace sol esta tarde, entonces iré a caminar”. ¿Cuándo es verdadera esta afirmación? Cuando es falso Solo es falso cuando hace sol y no salgo a pasear. La lógica es lo que es, la afirmación es cierta en todos los demás casos. Si no está soleado, el valor de verdad de la declaración es independiente de si caminé o no.

En otras palabras, p -> q solo es falso cuando p es verdadero y q no lo es (es decir, p y no-q); si p no es verdadero, entonces la afirmación es verdadera.

De vuelta a su ejemplo, usted (lo más probable) no tiene 2 cabezas, por lo que toda la declaración p -> q es verdadera. No se puede decir si q es verdad o no.