Hay más de un infinito. Pero no tiene nada que ver con lo que es práctico para los humanos. Los seres humanos no tienen la capacidad práctica de contar infinitos objetos en absoluto, no para ningún tipo de infinito. Pero … y esta es la parte difícil … los humanos pueden lidiar con el infinito de manera imaginativa e hipotética .
El infinito contable significa que puede configurar una correspondencia de uno a uno con los números naturales. O más concretamente …
Se puede enumerar un conjunto infinito, aunque sea un conjunto infinitamente largo. Tal conjunto podría verse así:
{1, 2, 3,…}
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La característica crítica de dicho conjunto es la siguiente: 1) Si un elemento es miembro de este conjunto, y 2) SI tiene una cantidad de tiempo arbitrariamente grande (lo que significa que obtiene la cantidad de tiempo que solicite), entonces el número Eventualmente se encontrará en la lista. Puede llevar mil millones de millones de años, pero teóricamente, si se cuenta con el tiempo suficiente, encontrará el elemento en este conjunto que figura en algún lugar.
Ahora, tome el conjunto de todos los números reales, que incluye tanto racional como irraccional, o incluso solo los números reales entre 0 y 10.0. Puede enumerar algunos de estos números:
{0, 5.555, pi, 2 * pi, raíz cuadrada de 2…}
El problema es que, aunque puede enumerar tantos números reales como desee, no hay forma de configurar un patrón que garantice que todos los números reales arbitrarios DEBEN aparecer en la lista. Simplemente no se puede hacer. Infinitamente más números NUNCA aparecerán en la lista, no importa lo inteligente que intentes enumerarlos.
Es posible enumerar de forma exhaustiva todos los números racionales , por cierto:
{1, 1/2, 2/2, 1/3, 2/3, 3/3, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 1/5, 2/5, 3/5 , 4/5, 5/5…}
En realidad, hay muchas redundancias aquí que pueden eliminarse, pero el punto sigue siendo válido: PUEDE enumerar todos los números racionales entre 0 y 1 de esta manera. Esta lista sería infinitamente larga, pero eventualmente debe aparecer cada número racional en este rango.
Pero eso NO es cierto en el caso de los números irracionales … ¡ni siquiera todos los números irracionales entre 0 y 1 se pueden enumerar de forma exhaustiva, ni siquiera una lista infinitamente larga y un tiempo infinito para buscarla!
Entonces, en opinión de los matemáticos, el número de números naturales, o racionales, es infinitamente contable . ¡El número de números reales (porque incluyen irracionales) es infinitamente infinito, lo que significa que … en realidad hay muchos más de ellos!