¿Cómo se desarrollaron las matemáticas a partir de la lógica? Aprendiendo y Estudiando para siempre

Bueno, ya estás asumiendo que lo hizo. Pero ¿y si no fuera así?

Por medio de la historia de las matemáticas aprendemos lecciones importantes.

Las matemáticas nacieron primero como cuantificación del mundo empírico. Como así, no nació de la lógica, sino de los problemas “simples” de cuantificar el mundo a su alrededor.

Para los matemáticos antiguos no había lógica inherente en ello. Simplemente recopilaron métodos heurísticos útiles para resolver problemas de la vida cotidiana, sería completamente absurdo pedirle a un antiguo matemático una prueba de afirmación matemática.

El cambio drástico proviene de la antigua Grecia, donde los matemáticos concibieron la necesidad de una demostración diagramática adecuada de los resultados matemáticos.

Todavía no está claro qué provocó la necesidad de tales manifestaciones. Podemos asumir varios culpables.

Naturaleza retórica de la antigua Grecia (recuerde que Aristóteles inventó la lógica silogística únicamente con el propósito de decidir la veracidad (y las leyes de invariancia de la verdad en la argumentación) de los debates retóricos).
Naturaleza filosófica de la antigua Grecia, uso implícito de varios métodos teóricos de prueba en discusiones filosóficas regulares. Especialmente la escuela Eleatic nos trajo algunos primeros atisbos de argumentación deductiva con el uso de argumentos de inducción, reductio ad absurdum.
El problema de la inconsistencia de los resultados recogidos de civilizaciones anteriores. Para los griegos se sabía que los babilonios usaban la fórmula [math] 3r ^ {2} [/ math] para calcular el área de un círculo, mientras que los egipcios usaban el mismo problema [math] \ left (\ frac {8} {9} 2r \ right) ^ {2} [/ math]. Entonces, los griegos finalmente preguntaron cuál de estos resultados es el único correcto y cómo podemos decidirlo con seguridad.
La crisis de la no conmensurabilidad de la diagonal de una unidad cuadrada a sus lados. Dos segmentos de línea ( a y b ) son conmensurables, es decir, en la formulación moderna que podemos probar la existencia de un segmento de línea t tal que [math] a = mt, b = nt [/ math] donde [math] m, n \ in \ mathbb {Z} ^ {+} [/ math] sin embargo, tales condiciones no se aplican en una diagonal de un cuadrado unitario en comparación con sus lados. Esta es la primera gran revolución en matemáticas porque, por primera vez en toda la historia de las matemáticas, este problema se probó de manera totalmente abstracta y, por lo tanto, nació una entidad que no es un número representable como una proporción de dos números, por tal herejía contra la religión de las matemáticas. Una fábula dice que el autor del descubrimiento fue asesinado. ¿Por qué es esta una revolución? Debido a que las Matemáticas comenzaron a alejarse del maldito mundo empírico hacia un mundo de magia y misterio, un mundo de pureza, un mundo independiente del mundo en el que vivimos, donde las verdades comprobadas pueden sobrevivir incluso a la muerte del universo. Para los matemáticos babilonios o egipcios, tal mundo no existía. Eso no quiere decir que estos matemáticos no sabían la respuesta a una pregunta de este tipo, pero su enfoque no era de una calidad purista, le darían una aproximación válida por medio de una fracción continua y terminarían con un número como [math] \ frac {30547} {21600} = 1.41421 \ overline {296}. [/ Math] que está bien para matemáticos no puros, pero para un purista es completamente erróneo.

Y así, por estas (y otras) razones, nace un primer esbozo del método axiomático de las matemáticas, donde se debe demostrar la validez del resultado mediante el uso de los principios correctos de razonamiento (lógica).

Así que recapitulemos:

Las matemáticas nacieron del mundo empírico.

La lógica nació de la filosofía y la retórica, principalmente como una herramienta para decidir la invariancia de la verdad a través de las transformaciones de la argumentación.

La primera combinación de estos 2 comienza en la antigua Grecia por las razones que describo anteriormente. La “Trata de los elementos de Euclides” es un primer trabajo matemático que utiliza un método axiomático estrictamente deductivo. Su belleza oculta reside en el hecho de que, desde algunos axiomas y términos indefinidos (punto, línea …), puede generar una gran variedad de afirmaciones matemáticas probadamente correctas totalmente desprovistas de cualquier necesidad de comodidad con el mundo del empirismo.

Así llego a la conclusión de que las matemáticas no se desarrollaron fuera de la lógica. Más bien, la lógica proporcionó el marco necesario para las matemáticas. Esta combinación comenzó en la antigua Grecia.

De lo que probablemente estés hablando es de una revolución que sacudió el mundo de las matemáticas en los siglos XIX y XX.

Euclid nos dejó con un tratado llamado Euclid Elements, su colección de aprox. Con 13 libros sobre diversos temas matemáticos (teoría de números, proto-álgebra, geometría), el libro de geometría comienza con cinco axiomas y varios términos indefinidos, ¡y de estos Euclides logra demostrar al menos 450 teoremas! Un logro notable por cierto. Sin embargo, lo triste de la geometría de Euclides es que se pensaba que describía el espacio del mundo empírico y, por lo tanto, se pensaba que estos axiomas eran naturales, evidentes e INDIVIDABLES. Sin embargo, hubo un problema con respecto al quinto axioma.

Si echamos un vistazo a los axiomas de Euclides como abstracciones del mundo empírico, entonces todos ellos pueden justificarse con la excepción del quinto postulado.

“Para dibujar una línea recta desde cualquier punto a cualquier punto”.
“Para producir [extender] una línea recta finita continuamente en línea recta”.
“Para describir un círculo con cualquier centro y distancia [radio]”.
“Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí”.
El postulado paralelo : “Eso, si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que los ángulos interiores en el mismo lado sean menos que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se producen de manera indefinida, se encuentran en ese lado en el cual los ángulos son menores que Los dos ángulos rectos “.

Los dos primeros axiomas son la abstracción del uso de una regla, el tercer axioma es una abstracción del uso de una brújula, y el cuarto axioma es la abstracción del uso de un transportador. Sin embargo, el quinto axioma no se puede justificar como una abstracción del empirismo. No importa lo que hagas con regla, compás o transportador, no vas a justificar el quinto axioma, en otras palabras, no importa cómo luches con los cuatro axiomas anteriores, el quinto no se caerá de ellos. Durante siglos, los matemáticos han tratado de luchar con la validez del quinto axioma probando que varias pruebas de todo esto han sido descubiertas tarde o temprano como incorrectas. Curiosamente, incluso el propio Euclides parecía ser un poco escéptico con respecto al último axioma, él mismo lo utilizó solo como último y necesario medio en sus pruebas. Así que el axioma se usa por primera vez después de que se prueban 29 teoremas sin él cuando se convierte en una necesidad para hacerlo.

Varios autores han estado tratando de probar el quinto axioma por método de prueba por contradicción. Sin embargo, estos autores tenían una fe tan ciega en la geometría de Euclides que, a pesar de que no se alcanzaba una contradicción, creían ciegamente que así era.

No fue hasta 1813 (Gauss) y 1818 (Schweikart) cuando las ideas centrales de las geometrías no euclidianas se estaban elaborando. Lamentablemente ninguno de estos publicó ninguno de sus resultados. En alrededor de 1830, finalmente, Lobachevsky escribe un artículo llamado esquema conciso de los fundamentos de la geometría. Donde él prueba la existencia de la geometría hiperbólica al reemplazar el quinto axioma de Euclides por su “negación”. Al principio era un escándalo, se suponía que el periódico debía ser publicado por la Academia de Ciencias de San Petersburgo, sin embargo, estos predicadores lo vieron como una herejía hacia una visión mundial aceptada de la geometría euclidiana y, por lo tanto, se negó el documento. Sin embargo, no tomó mucho tiempo y las geometrías alternativas comenzaron a florecer en todas partes en varias formas. Esto creó un caos en las matemáticas porque durante mucho tiempo la geometría de Euclides fue considerada como el rigor matemático más alto jamás creado y ahora todo este rigor se ha roto. Pero si se demostró que nuestra rigurosa geometría Euclides no es tan rigurosa como pensábamos, ¿qué tal el cálculo tan vigorosamente desarrollado en el siglo XIX? Estaba lejos de ser riguroso, sino que se basaba en algunos saltos intuitivos injustificados, pero se estaba convirtiendo rápidamente en una colección de trucos y métodos útiles para resolver problemas; había una perspectiva aterradora de que los cálculos se convirtieran en matemáticas pre-euclidianas como la de Babilonia o Matemáticas egipcias. Esto tuvo que corregirse para poner las matemáticas en una posición rigurosa y unificada y desarrollarlas a partir de ahí. El nacimiento del programa de Hilbert de axiomatización total de las matemáticas.

Para este programa fue necesario construir matemáticas elementales a partir de un marco lógico básico; sin embargo, la lógica aristotélica no era suficiente para esta tarea, por lo que se tuvo que inventar una nueva lógica y ahí es donde entra en juego la lógica del predicado axiomático de Freges. En la lógica proposicional estándar, es imposible establecer incluso los teoremas más elementales como el teorema de Euclides del infinito de los números primos. En la lógica de predicados de Freges esto es posible y mucho más es suficiente para construir toda la lógica de predicados de Freges. Los axiomas de Dedekind-Peano para los números naturales, por lo tanto, Frege creía que toda la aritmética es solo una lógica disfrazada. Pero entonces, si la aritmética completa es meramente lógica disfrazada, ¿no implica eso que las matemáticas completas no son más que lógica?

Para más información sobre esta búsqueda del logicismo en la filosofía de las matemáticas.